O ângulo central tem o vértice no centro da circunferência e mede o mesmo que o arco que ele enxerga. Com essa ideia, mediu-se o tamanho da Terra.

Quem descobriu

A relação entre ângulo central e arco é a base da proposição III.26 dos Elementos de Euclides: em circunferências iguais, ângulos centrais iguais correspondem a arcos iguais. O uso mais famoso dela é de Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 a.C.), diretor da Biblioteca de Alexandria, que calculou a circunferência da Terra a partir de um ângulo central.

Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público
Eratóstenes de Cirene, representação artística posterior.
Eratóstenes de Cirene, representação artística posterior.Autor não identificado; ver fonte · Wikimedia Commons · Domínio público

A história

Eratóstenes sabia que, ao meio-dia do solstício de verão, o Sol iluminava o fundo dos poços de Siena, no sul do Egito. No mesmo instante, em Alexandria, a sombra de um gnômon mostrava que os raios de sol chegavam inclinados de 1/50 de volta (7,2°). Como os raios do Sol são praticamente paralelos, esse ângulo é igual ao ângulo central da Terra entre as duas cidades. Bastava multiplicar a distância Siena–Alexandria por 50.

Estudiosos medievais com um astrolábio, instrumento que mede ângulos no céu a partir do centro de um disco graduado.
Estudiosos medievais com um astrolábio, instrumento que mede ângulos no céu a partir do centro de um disco graduado.Acervo do blog Euler’s Eyes.

O resultado, cerca de 250 000 estádios, fica perto do valor real, embora não se saiba exatamente quanto media o estádio que ele usou. Foi a primeira medida da Terra baseada num raciocínio geométrico.

No dia a dia

  • Gráfico de pizza. Inventado por William Playfair em 1801, representa cada parte de um total por um ângulo central: 25% são 90°.
  • Ponteiros do relógio. O ângulo entre os ponteiros é central; às 2 h, ele mede 60°.
  • Roda-gigante. Com 12 cabines igualmente espaçadas, cada cabine está a 30° da seguinte, medidos a partir do eixo.
  • Velocímetros e manômetros. O ponteiro gira em torno do centro, e o ângulo central indica o valor na escala.

Fontes: Eratóstenes (MacTutor) · Elementos, proposição III.26 · William Playfair (Wikipédia).

Teoria e construções

DefiniçãoÂngulo central e medida de um arco

Ângulo central é um ângulo com vértice no centro da circunferência. O arco $\overset{\frown}{AB}$ determinado por ele é o arco correspondente (ou subentendido) ao ângulo central $A\hat{O}B$.

A medida de um arco é a medida do ângulo central correspondente: se $m(A\hat{O}B) = 60^{\circ}$, então $m(\overset{\frown}{AB}) = 60^{\circ}$, e reciprocamente. Para simplificar, usamos o mesmo símbolo $\overset{\frown}{AB}$ para o arco e para a sua medida.