Faça os coeficientes aparecerem

Destaque uma linha e leia cada número. Na linha 4, o 6 vem de 3 + 3 na linha anterior.

Em telas pequenas, deslize o gráfico na horizontal para ler os detalhes.

Compare as somas das linhas zero a seis: 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64.

Da linha 3 ao cubo de uma soma

  1. A linha 3 tem os coeficientes 1, 3, 3, 1.
  2. Os expoentes de a diminuem: 3, 2, 1, 0.
  3. Os expoentes de b aumentam: 0, 1, 2, 3.
  4. Assim, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

No post anterior, falamos dos produtos notáveis. Aqui, vamos estender o conceito dos produtos notáveis com o triângulo de Pascal. O triângulo de Pascal é um triângulo de números inteiros, onde cada número é a soma dos dois números acima dele. O triângulo de Pascal é uma ferramenta muito útil para calcular os coeficientes binomiais.

Além de sua obra prima, o Triângulo de Pascal, Blaise Pascal foi um dos precursores da informática atual, pois com a máquina La Pascaline revolucionou a época com sua calculadora mecânica. Nela podemos realizar cálculos de adição e subtração de forma rápida. Ele fez isso como distração, pois seu para era coletor de impostos.

Ajude-nos a construir o site de matemática. Doe o quanto puder.

Traite du triangle arithmétique (1654 - 1754)

“Tudo que sei é que vou morrer e o que eu ignoro é uma morte que não posso evitar.”

Blaise Pascal Lápide de Pascal
Triângulo de Pascal da linha zero à linha seis.
Cada valor interno soma os dois imediatamente acima.
Ampliar figura para ler os detalhes
Triângulo de Pascal da linha zero à linha seis.

Aqui vamos construir o triângulo de Pascal com base nos resultados de diversos autores traduzidos e adaptados, com objetivo entender a extensão da filosofia Pascalina.

“E o designo do triângulo aritmético a figura de construção …”

$$ \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ 1 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ 1 & 3 & 3 & 1 & \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \end{array} $$

Como ele chegou a este resultado?

Triângulo de Pascal da linha zero à linha seis.
Cada valor interno soma os dois imediatamente acima.
Ampliar figura para ler os detalhes
Triângulo de Pascal da linha zero à linha seis.
n Coeficientes
1 $1 \quad 1$
2 $1 \quad \overbrace{2}^{1+1} \quad 1 $
3 $1 \quad \overbrace{3}^{1+2} \quad \overbrace{3}^{2+1}\quad 1 $
4 $1 \quad \overbrace{4}^{1+3} \quad \overbrace{6}^{3+3} \quad \overbrace{4}^{3+1}\quad 1 $
$\vdots$ $\vdots$

Comparação de produto notável e triângulo de Pascal

A seguir, vamos observar que os produtos notáveis é um caso particular do triângulo de Pascal.

Produto notável Triângulo de Pascal Resultado
$(a+b)$ $1 \quad 1 \quad \quad \quad $ $1a + 1b$
$(a+b)^2$ $1 \quad 2 \quad 1 \quad \quad $ $1a^2+ 2ab + 1b^2$
$(a+b)^3$ $1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad $ $1a^3+ 3 a^2b+ 3 ab^2 + 1b^3$
$(a+b)^4$ $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$ $1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b4$

Fontes Históricas - Triângulo de Pascal

Roma
Blaise Pascal.
Europa
Blaise Pascal.
Árabe
Blaise Pascal.

Aplicação em polinômios

$$f(x)= (1+x)^n$$
$$ \begin{aligned} n = 0 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 \\ n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + x\\ n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 2x + x^2\\ n = 3 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 3x + 3x^2 + x^3\\ n = 4 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\\ \qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\ \end{aligned} $$
$$ \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ 1 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ 1 & 3 & 3 & 1 & \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \end{array} $$

“E o galo canta pela primeira vez!”

Andar do bêbado

Seja um bar, um bêbado, sua casa, n passos e uma intenção …

Para ilustrarmos este exemplo de Pascal, observe:

$$ \begin{aligned} n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad S + F\\ n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad SS + SF + FS + FF\\ n = 3 \qquad &\Rightarrow SSS + SSf +SFS + FSS + SFF +FSF +FFS +FFF\\ \qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\ n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad S + F\\ n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad S^2 + 2SF + F^2\\ n = 3 \qquad &\Rightarrow S^3 + 3S^2f +3SF^2 +F^3\\ \qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\ \end{aligned} $$
andar do bêbado.

“E o galo canta pela segunda vez!”