Comparar um arco com seu raio

Se um arco tem comprimento $s$ em uma circunferência de raio $R>0$, sua medida em radianos é:

$$\theta=\frac{s}{R}.$$

Um radiano é o ângulo central que recorta um arco tão comprido quanto o raio. Como o comprimento de uma circunferência é $2\pi R$, uma volta mede $2\pi$ radianos. Segue que:

$$360°=2\pi\text{ rad},\qquad180°=\pi\text{ rad}.$$

As conversões são $\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{graus}}\pi/180$ e $\theta_{\mathrm{graus}}=\theta_{\mathrm{rad}}180/\pi$. Por exemplo, $75°=5\pi/12$ rad.

Demonstrar a fórmula do comprimento

Um arco de $\alpha$ graus ocupa a fração $\alpha/360$ da volta. Seu comprimento é:

$$s=\frac{\alpha}{360}\,2\pi R=R\frac{\alpha\pi}{180}=R\theta.$$

A expressão $s=R\theta$ exige que $\theta$ esteja em radianos. Para um arco de raio 8 cm e medida $\pi/3$, $s=8\pi/3$ cm. Para comprimento usamos a extensão percorrida, que é não negativa; um deslocamento angular orientado pode ter sinal.

A reta numérica dá voltas

O ciclo trigonométrico é a circunferência de raio 1 e centro na origem. Associamos o número real $x$ ao ponto atingido a partir de $(1,0)$ após um giro de $x$ radianos. O sentido positivo é anti-horário; o negativo, horário.

O primeiro quadrante corresponde a $0

Dois reais têm a mesma imagem exatamente quando sua diferença é um número inteiro de voltas:

$$x\equiv y\pmod{2\pi}\iff x-y=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Assim, podemos escrever $x=x_0+2k\pi$ com $0\le x_0<2\pi$. Essa representação separa as voltas completas da posição final.

Exemplo com um giro negativo

Para $x=-7\pi/6$, somamos uma volta: $-7\pi/6+2\pi=5\pi/6$. A posição final está no segundo quadrante, embora o giro tenha sido realizado no sentido negativo.

No dia a dia

  • Rodas de carro. A 72 km/h (20 m/s), uma roda de raio 0,3 m gira $\frac{20}{0{,}3} \approx 66{,}7$ rad/s, cerca de 637 rotações por minuto — a fórmula $v = \omega r$ só vale com o ângulo em radianos.
  • Pistas de atletismo. Cada curva é meia circunferência; com raio de 36,5 m, ela mede cerca de $\pi \cdot 36{,}5 \approx 115$ m.
  • Programação. As funções sin e cos das linguagens de programação e das planilhas recebem radianos; esquecer a conversão é um dos erros mais comuns.
Ângulo central em graus e em radianos, e o arco correspondente: $\ell = r\theta$ só vale com radianos.

Exercícios com resolução

1. Converta $225°$ em radianos e $7\pi/6$ rad em graus.

Conferir resolução 1

$225\pi/180=5\pi/4$ rad; $(7\pi/6)180/\pi=210°$.

2. Uma circunferência tem raio 3 cm. Qual é o comprimento de um arco de $120°$?

Conferir resolução 2

$120°=2\pi/3$ rad. Então $s=3\cdot2\pi/3=2\pi$ cm.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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