Euler's Eyes
2026-10-15
Os dois pontos de Napier: a definição do logaritmo
Napier não tinha a notação de expoentes que usamos hoje. Para definir os logaritmos, usou uma imagem de movimento, muito antes de Newton e Leibniz criarem o cálculo.
A definição
Imagine dois pontos que partem juntos. O primeiro, $P$, anda por um segmento $AB$ de comprimento $10^7$, e a sua velocidade em cada instante é igual à distância que ainda falta até $B$: começa rápido e vai freando, sem nunca chegar. O segundo, $Q$, anda por uma reta sem fim, sempre com a velocidade inicial de $P$.
Quando $P$ está a uma distância $x$ de $B$, a distância percorrida por $Q$ é o logaritmo de $x$.
Por que $10^7$? Napier queria os logaritmos dos senos, que eram usados em astronomia e navegação. Na época, o seno não era um número entre 0 e 1, mas o comprimento de uma meia-corda num círculo de raio grande, para evitar frações. Napier tomou o raio igual a $10^7$, e os senos eram números inteiros de até oito algarismos.
A conta de hoje
Com o cálculo, a definição vira uma equação diferencial. A distância que falta para $P$ é $x(t)$, e a velocidade é $-x'(t)=x(t)$, com $x(0)=10^7$. A solução é
$$x(t)=10^7e^{-t}.$$O ponto $Q$ anda com velocidade constante $10^7$, então percorreu $y=10^7t$. Eliminando $t$:
$$\boxed{\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln\frac{10^7}{x}.}$$Por exemplo, quando $P$ está na metade do caminho, $x=5\,000\,000$ e
$$\operatorname{NapLog}(5\,000\,000)=10^7\ln2\approx6\,931\,472.$$Repare que o logaritmo de Napier diminui quando $x$ cresce, e que $\operatorname{NapLog}(10^7)=0$. Escondido na fórmula está o número $e\approx2{,}71828$, que só ganharia nome com Euler, mais de um século depois. Napier nunca o escreveu, mas os seus logaritmos são, a menos da escala, logaritmos de base $1/e$.
Produtos que viram somas
Da fórmula sai a propriedade que tornava as tábuas úteis. Como $\ln$ transforma produtos em somas,
$$\operatorname{NapLog}\!\left(\frac{xy}{10^7}\right)=\operatorname{NapLog}(x)+\operatorname{NapLog}(y).$$O fator $10^7$ incomodava: era preciso lembrar de dividir por ele a cada multiplicação. Foi um dos motivos pelos quais Napier e Briggs decidiram, em 1615, fazer uma tábua nova, com $\log1=0$ e $\log10=1$.
Como Napier calculou
Napier não tinha a fórmula. Ele construiu as tábuas multiplicando repetidamente por $1-10^{-7}$: os números
$$10^7,\quad10^7\left(1-10^{-7}\right),\quad10^7\left(1-10^{-7}\right)^2,\quad\dots$$têm logaritmos muito próximos de $0, 1, 2,\dots$ Como multiplicar por $0{,}9999999$ é só subtrair o número deslocado sete casas, cada passo exigia apenas uma subtração. Depois, com tabelas auxiliares de passos maiores, $1-10^{-5}$ e $1-\frac1{2000}$, chegou a todos os senos de minuto em minuto de arco. A Construção, publicada pelo filho em 1619, explica o método.
Exercício: calcule NapLog(10⁷/e) e NapLog(2 500 000).
Para $x=10^7/e$: $\operatorname{NapLog}=10^7\ln e=10^7$. Para $x=2\,500\,000=10^7/4$: $\operatorname{NapLog}=10^7\ln4=2\times10^7\ln2\approx13\,862\,944$, o dobro do logaritmo da metade, como manda a propriedade dos produtos.
Exercício: por que, no primeiro passo da tábua, NapLog(9 999 999) é quase exatamente 1?
$\operatorname{NapLog}(9\,999\,999)=10^7\ln\frac{10^7}{9\,999\,999}=10^7\ln\frac1{1-10^{-7}}$. Para $h$ pequeno, $\ln\frac1{1-h}\approx h+\frac{h^2}2$, então o logaritmo vale $1+5\times10^{-8}$, praticamente 1. Napier usou exatamente essa aproximação, com uma estimativa do erro.
Fontes: John Napier, Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614) e Mirifici logarithmorum canonis constructio (1619) · Julian Havil, John Napier: Life, Logarithms, and Legacy (2014) · Eli Maor, e: The Story of a Number (Princeton, 1994).
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