Euler's Eyes
2026-10-15
Dividir a lemniscata com régua e compasso
Em 1694, Jakob Bernoulli estudou uma curva em forma de oito deitado, que chamou de lemniscus, uma fita de laço. Com os focos nos pontos $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$, ela é o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias aos dois focos vale $\frac12$. A equação é
$$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$ou, em coordenadas polares, $r^2=\cos2\theta$. Abel, um século e meio depois, provou sobre ela um teorema que parece saído do livro de Euclides: para que números $n$ dá para dividir a lemniscata em $n$ arcos de mesmo comprimento usando só régua e compasso?
O comprimento do arco
Primeiro, quanto mede um pedaço da curva? Em polares, um pedacinho de arco tem $ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2$. Derivando $r^2=\cos2\theta$,
$$2r\,dr=-2\operatorname{sen}2\theta\,d\theta,\qquad\operatorname{sen}2\theta=\sqrt{1-\cos^22\theta}=\sqrt{1-r^4},$$logo $d\theta=-\dfrac{r\,dr}{\sqrt{1-r^4}}$ e
$$ds^2=dr^2+\frac{r^4\,dr^2}{1-r^4}=\frac{dr^2}{1-r^4}.$$O arco que vai do centro até um ponto a distância $r$ do centro mede, portanto,
$$\boxed{s=\int_0^r\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.}$$É a integral lemniscática, a mesma que define o seno lemniscático. Em outras palavras: o ponto da lemniscata que está a uma distância de arco $s$ do centro está a uma distância $\operatorname{sl}(s)$ do centro. O seno lemniscático faz para a lemniscata o que o seno faz para o círculo. Do centro até a ponta, o arco mede $\frac\varpi2\approx1{,}3110$, e a curva inteira, $2\varpi\approx5{,}2441$.
O Natal de 1751
Em 1718, o conde italiano Giulio Fagnano descobriu como dobrar um arco de lemniscata com régua e compasso: dado um arco, construir outro com o dobro do comprimento. Ninguém prestou muita atenção. Em 23 de dezembro de 1751, a Academia de Berlim entregou a Euler os livros de Fagnano para que desse um parecer. Euler percebeu na hora o que havia ali e generalizou a fórmula de Fagnano numa fórmula de adição para essas integrais. Quase um século depois, Jacobi disse que aquele dia era a data de nascimento das funções elípticas.
Dividir em oito
Vamos usar a fórmula de Fagnano, escrita com o seno lemniscático:
$$\operatorname{sl}(2u)=\frac{2\operatorname{sl}(u)\sqrt{1-\operatorname{sl}(u)^4}}{1+\operatorname{sl}(u)^4}.$$Para dividir a curva em oito partes iguais, basta achar o ponto que divide ao meio o arco do centro até a ponta. A ponta está em $r=1$, então procuramos $s=\operatorname{sl}(u)$ com $\operatorname{sl}(2u)=1$:
$$1+s^4=2s\sqrt{1-s^4}.$$Elevando ao quadrado e chamando $w=s^2$:
$$(1+w^2)^2=4w(1-w^2)\quad\Longrightarrow\quad w^4+4w^3+2w^2-4w+1=0.$$O polinômio é um quadrado perfeito: $(w^2+2w-1)^2$. Então $w^2+2w-1=0$, e a raiz positiva é $w=\sqrt2-1$. O ponto procurado está a uma distância
$$\boxed{r=\sqrt{\sqrt2-1}\approx0{,}6436}$$do centro. É um número que só envolve raízes quadradas, e raízes quadradas se constroem com régua e compasso. Desenhando o círculo de raio $\sqrt{\sqrt2-1}$ com centro no centro da curva, ele corta a lemniscata nos quatro pontos do meio da figura acima.
O teorema de Abel
Gauss tinha provado em 1796 que o polígono regular de 17 lados pode ser construído com régua e compasso, e mais geralmente que o círculo pode ser dividido em $n$ partes iguais quando $n$ é uma potência de 2 vezes primos de Fermat diferentes, como 3, 5, 17, 257 e 65537. No livro de 1801, deixou uma frase misteriosa: os mesmos princípios valiam também para a integral $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$. Não publicou mais nada sobre isso.
Abel publicou. Em 1827, nas Pesquisas sobre as funções elípticas, provou:
A lemniscata pode ser dividida em $n$ arcos iguais com régua e compasso para os mesmos valores de $n$ que o círculo.
A prova usa a fórmula de adição do seno lemniscático e os dois períodos, e é um dos primeiros lugares em que aparece a estrutura que hoje se chama multiplicação complexa. A recíproca, que para os outros valores de $n$ é impossível, só foi provada em 1981, pelo americano Michael Rosen.
Exercício: como construir com régua e compasso o comprimento √(√2 − 1)?
A diagonal de um quadrado de lado 1 mede $\sqrt2$. Tirando 1, sobra $a=\sqrt2-1\approx0{,}4142$. Para a raiz de $a$, use a média geométrica: marque numa reta os segmentos $AB=a$ e $BC=1$, trace o semicírculo de diâmetro $AC$ e levante a perpendicular em $B$. A altura até o semicírculo mede $\sqrt{a\cdot1}=\sqrt a\approx0{,}6436$, pelo mesmo argumento de semelhança do teorema de Pitágoras.
Exercício: para quais n entre 3 e 20 a lemniscata pode ser dividida em n arcos iguais com régua e compasso?
Os valores são as potências de 2 vezes primos de Fermat diferentes: $3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17$ e $20$. Ficam de fora $7, 9, 11, 13, 14, 18$ e $19$. O 9 sai porque $9=3\cdot3$ repete o primo de Fermat 3; o 7, o 11, o 13 e o 19 não são primos de Fermat.
Fontes: Niels Henrik Abel, “Recherches sur les fonctions elliptiques”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 2 (1827) · Michael Rosen, “Abel’s theorem on the lemniscate”, The American Mathematical Monthly 88 (1981) · Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae (1801), artigo 335.
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