Euler's Eyes
2026-10-11
Fermat e Pascal: a divisão justa de um jogo interrompido
Dois jogadores apostam o mesmo valor num jogo de várias rodadas: ganha tudo quem vencer primeiro um certo número delas. No meio da partida, o jogo precisa ser interrompido. Como dividir o dinheiro de forma justa?
Esse é o problema dos pontos. Parece simples, mas derrubou matemáticos por mais de 150 anos.
A resposta errada
Em 1494, o frade italiano Luca Pacioli propôs dividir o prêmio na proporção das rodadas já ganhas. Se A ganhou 2 rodadas e B ganhou 1, A leva $\frac23$ do prêmio.
Parece razoável, mas não é. Imagine um jogo até 100 vitórias, interrompido com A ganhando por 1 a 0. Pela regra de Pacioli, A leva tudo. Mas o jogo estava apenas começando, e B tinha quase as mesmas chances de vencer. O que importa não é o que já aconteceu, e sim o que ainda pode acontecer.
As cartas de 1654
O problema chegou a Blaise Pascal por meio do Cavaleiro de Méré, um nobre francês que adorava jogos de azar. Pascal escreveu a Fermat, em Toulouse, e no verão de 1654 os dois trocaram uma série de cartas. Cada um encontrou a solução por um caminho diferente: Pascal com um raciocínio passo a passo, de trás para a frente; Fermat contando todas as possibilidades.
Quando Pascal viu que os dois métodos davam a mesma resposta, escreveu:
Vejo bem que a verdade é a mesma em Toulouse e em Paris.
— Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)
O método de Fermat: contar os futuros
Suponha que cada rodada seja como jogar uma moeda: cada jogador tem chance $\frac12$ de vencê-la. O jogo é interrompido quando falta 1 vitória para A e 2 para B.
Fermat raciocinou assim: em no máximo duas rodadas, alguém certamente terá vencido. Então imaginamos que as duas rodadas são jogadas, mesmo que a primeira já decida o jogo. Os resultados possíveis, todos com a mesma chance, são:
| Rodadas | Vencedor |
|---|---|
| A A | A |
| A B | A |
| B A | A |
| B B | B |
A vence em 3 dos 4 casos; B, em 1. As probabilidades são
$$P(A)=\frac34,\qquad P(B)=\frac14.$$Se o prêmio é de 80 moedas, a divisão justa é 60 para A e 20 para B.
Mas espere: em “A A” e “A B”, o jogo terminaria logo na primeira rodada. Por que contar a segunda? Porque jogar uma rodada a mais depois do fim não muda o vencedor, e o truque deixa todos os casos com o mesmo tamanho e a mesma chance. Isso facilita a contagem.
A regra geral
Se faltam $a$ vitórias para A e $b$ para B, em no máximo $a+b-1$ rodadas o jogo estaria decidido. Fermat lista todas as $2^{a+b-1}$ sequências possíveis e conta em quantas A ganha pelo menos $a$ rodadas. Essa contagem usa os números do triângulo aritmético, que Pascal estudava na mesma época. Veja a trilha de Pascal para o método dele.
A ideia nova
Antes de 1654, ninguém tinha tratado o acaso com matemática séria. As cartas de Pascal e Fermat introduziram a ideia de valor esperado: o que cada jogador “merece” é o prêmio multiplicado pela sua chance de ganhar. A mesma ideia está hoje no cálculo de seguros, de investimentos e de qualquer decisão que envolva risco.
Exercício: falta uma vitória para cada jogador. Como dividir 80 moedas?
A próxima rodada decide tudo, e cada um tem chance $\frac12$. A divisão justa é 40 para cada.
Exercício: faltam 1 vitória para A e 3 para B. Como dividir 80 moedas?
Em 3 rodadas o jogo está decidido. Das $2^3=8$ sequências, B só vence em BBB. Então $P(A)=\frac78$ e $P(B)=\frac18$: 70 moedas para A e 10 para B.
Fontes: biografia de Fermat, MacTutor · biografia de Pascal, MacTutor.
Todos os tópicos de Fermat · ← Números de Fermat: uma conjectura e um contraexemplo · O princípio de Fermat: a luz escolhe o caminho mais rápido →