Euler's Eyes
2026-10-16
Frege e a estrela da manhã: o que diz a = b
Compare duas frases:
$$1024=1024\qquad\text{e}\qquad 2^{10}=1024.$$As duas são verdadeiras, e as duas dizem que um número é igual a ele mesmo: $2^{10}$ é $1024$. Mesmo assim, ninguém aprende nada com a primeira, e a segunda é uma pequena descoberta, que custa dez multiplicações. Se o igual só dissesse “estas duas coisas são a mesma”, as duas frases diriam exatamente o mesmo. Então o que a segunda tem a mais?
A estrela da tarde e a estrela da manhã
Essa pergunta incomodou o matemático alemão Gottlob Frege, que respondeu a ela em 1892 num artigo curto, Sobre o sentido e a referência. O exemplo dele vem da astronomia. Os gregos antigos chamavam de Héspero a estrela brilhante que aparece no oeste ao entardecer, e de Fósforo a que aparece no leste antes do amanhecer. Descobrir que as duas eram o mesmo astro, o planeta Vênus, foi uma conquista. “Héspero é Héspero” não ensina nada; “Héspero é Fósforo” ensina.
A solução de Frege foi separar duas coisas que um nome carrega:
- a referência (Bedeutung): o objeto para o qual o nome aponta, no caso o planeta Vênus;
- o sentido (Sinn): o modo como o nome apresenta esse objeto, “o astro que brilha ao entardecer” ou “o astro que brilha ao amanhecer”.
Uma igualdade $a=b$ é verdadeira quando $a$ e $b$ têm a mesma referência. E é informativa quando eles têm sentidos diferentes, quando chegam ao mesmo objeto por caminhos diferentes.
Sentido e referência nos números
A matemática está cheia de nomes diferentes para o mesmo número:
$$4,\qquad 2+2,\qquad 2^2,\qquad \sqrt{16},\qquad \tfrac{8}{2},$$e também “o único número primo par, somado a si mesmo”.
Todos têm a mesma referência. Mas cada um a apresenta de um jeito, e cada jeito conta uma história: $2+2$ diz como juntar, $2^2$ diz como multiplicar, $\sqrt{16}$ diz de que quadrado é o lado. É isso que o capítulo 2 chamou de diferença entre o significante e o objeto: o signo não é a coisa, e a mesma coisa tem muitos signos.
Daí uma consequência importante para quem escreve contas. Calcular é trocar uma escrita por outra de mesma referência e sentido mais útil. Em
$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\qquad(x\neq3),$$as três expressões apontam para o mesmo valor, mas a terceira é a mais fácil de usar. Uma notação é ativa, no sentido deste livro, quando o seu sentido já mostra o caminho para outras escritas: o $2^{10}$ mostra que $2^{10}=2^5\cdot2^5=32\cdot32$, e o $1024$ não mostra nada.
A lei de Leibniz
Se duas escritas apontam para o mesmo objeto, deveria ser possível trocar uma pela outra em qualquer frase sem mudar a verdade. Gottfried Leibniz pôs essa ideia numa fórmula latina, que Frege cita com aprovação:
São as mesmas as coisas que podem ser trocadas uma pela outra salva veritate, sem prejuízo da verdade.
— Leibniz, citado por Frege em Os fundamentos da aritmética (1884), §65
É a regra que se usa o tempo todo em álgebra sem dar nome a ela. Se $x=3$, então $x^2+x=3^2+3=12$. Se $y=2x$, então $x+y=x+2x=3x$. Substituir iguais por iguais é o motor de toda conta.
Mas Frege notou que a regra falha num tipo especial de frase. Considere:
O aluno sabe que $2^{10}=2^{10}$.
Isso é verdade para qualquer aluno. Agora troque o segundo $2^{10}$ por $1024$, que é o mesmo número:
O aluno sabe que $2^{10}=1024$.
Isso pode ser falso. Quando a frase fala do que alguém sabe, acredita ou escreveu, o que importa é o sentido, e não só a referência. Os lógicos chamam esses lugares de contextos opacos. Dentro de uma conta, o igual permite trocar à vontade; dentro de uma frase sobre o que se sabe da conta, não.
Exercício: qual igualdade ensina mais?
Ordene da menos para a mais informativa: $7=7$, $7=\frac{14}{2}$, $2^{10}=1024$, $e^{i\pi}=-1$.
$7=7$ não ensina nada: mesmo sentido, mesma referência. $7=\frac{14}{2}$ ensina pouco, uma divisão. $2^{10}=1024$ exige dez multiplicações. $e^{i\pi}=-1$, a fórmula de Euler, liga a exponencial, os números imaginários e a geometria do círculo, e foi preciso um século de matemática para escrevê-la. As quatro têm a mesma forma, $a=b$; o que muda é a distância entre os dois sentidos.
Exercício: troque iguais por iguais
Se $x=2y$ e $y\neq0$, quanto vale $\dfrac{x+y}{x-y}$? Pela lei de Leibniz, troque $x$ por $2y$:
$$\frac{x+y}{x-y}=\frac{2y+y}{2y-y}=\frac{3y}{y}=3.$$O resultado não depende de $y$. A troca fez o $x$ desaparecer e revelou que a expressão é constante, algo que não se via na forma original.
Índice do capítulo · ← Um sinal, muitos iguais · Equação, identidade, definição: três trabalhos do mesmo sinal →