Euler's Eyes
2026-10-11
Segmentos tangentes — quadriláteros circunscritíveis
De um ponto fora de uma circunferência saem duas tangentes, e os dois segmentos até os pontos de contato têm o mesmo comprimento.
Quem descobriu
A igualdade dos segmentos tangentes é consequência direta da proposição III.17 dos Elementos de Euclides, que ensina a traçar a tangente por um ponto exterior. Dela sai o teorema de Pitot: num quadrilátero que tem uma circunferência inscrita, as somas dos lados opostos são iguais. O engenheiro francês Henri Pitot o publicou em 1725 (veja a curiosidade sobre ele mais abaixo). A recíproca — se as somas dos lados opostos são iguais, o quadrilátero admite circunferência inscrita — foi provada no século XIX e costuma ser atribuída a Jakob Steiner.
A história
A prova do teorema de Pitot é um bom exemplo de como uma propriedade simples rende muito: cada vértice do quadrilátero é ponto exterior à circunferência e tem dois segmentos tangentes iguais. Somando os lados opostos, cada segmento aparece exatamente uma vez em cada soma.
Pitot não era matemático de profissão. Engenheiro hidráulico, ele construiu aquedutos e pontes no sul da França e inventou o tubo de Pitot, que mede a velocidade de líquidos e gases e ainda equipa os aviões modernos.
No dia a dia
- Correias e polias. Os trechos retos de uma correia que abraça duas polias são tangentes às rodas; em polias iguais, eles têm o mesmo comprimento.
- Corrente de bicicleta. Sai tangente à coroa e chega tangente à catraca.
- Visão de um farol. Do alto de um farol, as duas linhas de visada que tangenciam uma ilha redonda têm o mesmo comprimento até os pontos de contato.
- Velocidade dos aviões. O tubo de Pitot, inventado pelo mesmo engenheiro do teorema, é o sensor que mede a velocidade do avião em relação ao ar.
Fontes: Elementos, proposição III.17 · Henri Pitot (Wikipédia) · Steiner (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaSegmentos tangentes
Se de um ponto $P$ conduzimos os segmentos $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$, ambos tangentes a uma circunferência, com $A$ e $B$ na circunferência, então $PA = PB$. Além disso, o centro está na bissetriz de $A\hat{P}B$.
Demonstração. Os triângulos $PAO$ e $PBO$ são retângulos em $A$ e $B$ (tangente ⊥ raio), têm $OA = OB$ (catetos) e $\overline{OP}$ comum (hipotenusa). Pelo caso especial, são congruentes: $PA = PB$.
TeoremaQuadrilátero circunscrito (teorema de Pitot)
Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se seus quatro lados são tangentes a ela.
a) Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois: $AB + CD = AD + BC$.
b) Recíproca: se num quadrilátero convexo $AB + CD = AD + BC$, então ele é circunscritível.
Portanto, essa igualdade é condição necessária e suficiente para um quadrilátero convexo ser circunscritível.
Ver as demonstrações
a) Sejam $X$, $Y$, $Z$, $T$ os pontos de tangência em $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DA}$. Pelos segmentos tangentes, $AX = AT$, $BX = BY$, $CZ = CY$ e $DZ = DT$. Somando: $AX + BX + CZ + DZ = AT + BY + CY + DT$, isto é, $AB + CD = AD + BC$.
b) Seja $\lambda$ a circunferência tangente a $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{CD}$. Se $ABCD$ não fosse circunscritível, existiria $ABCX$, com $X$ na reta $CD$, circunscrito a $\lambda$: $AB + CX = BC + AX$ (1). Da hipótese, $AB + CX \pm XD = AD + BC$, ou seja, $AB + CX = AD + BC \mp XD$ (2). De (1) e (2), $AX = AD \mp XD$ — o que é absurdo no triângulo $ADX$ (desigualdade triangular).
