Exercícios do capítulo 10 — Circunferência e círculo

Determine o raio do círculo de centro $O$, dados $AB = 3x - 3$ e $OA = x + 3$.

A circunferência tem raio de 16 cm e o ponto $P$ dista 7 cm do centro. Determine a distância entre $P$ e a circunferência.

Determine o valor de $x$ nos casos: a) $s$ é perpendicular a $\overline{AB}$; b) $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes à circunferência.

Determine o valor de $x$, sendo $O$ o centro da circunferência, nos casos:

As circunferências da figura são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm, determine os raios.

Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos raios é 30 cm. Se a distância entre os centros é 6 cm, determine os raios.

Na figura, as circunferências são tangentes duas a duas e os centros são os vértices do triângulo $ABC$. Sendo $AB = 7$ cm, $AC = 5$ cm e $BC = 6$ cm, determine os raios das circunferências.

As circunferências são tangentes externamente em $Q$, e $\overrightarrow{PA}$ e $\overrightarrow{PB}$ são tangentes às circunferências. Determine a medida do ângulo $A\hat{Q}B$ nos casos: a) em que $t$ é tangente comum e $A\hat{P}B = 80^{\circ}$; b) com $A\hat{P}B = 100^{\circ}$.

Diga o número de retas que passam pelo ponto $P$ e tangenciam a circunferência $\lambda$ nos casos: a) $P$ pertence a $\lambda$; b) $P$ é interior a $\lambda$; c) $P$ é externo a $\lambda$.

Determine o número de retas tangentes comuns que podemos traçar a duas circunferências nos casos: a) concêntricas distintas; b) exteriores; c) secantes; d) tangentes exteriormente; e) tangentes interiormente.

Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Cite o caso.

Em que caso um setor circular é um semicírculo?

O que podemos dizer da reta que passa pelo ponto de tangência de duas circunferências tangentes entre si, sabendo que essa reta é perpendicular à reta que passa pelos centros?

É possível obtermos uma corda que passa pelo ponto médio do diâmetro de uma circunferência?

Dê a posição de duas circunferências de raios $r$ e $R$, sendo $d$ a distância entre seus centros, nos casos: a) $r = 2$ cm, $R = 5$ cm, $d = 10$ cm; b) $r = 5$ cm, $R = 10$ cm, $d = 15$ cm; c) $r = 3$ cm, $R = 7$ cm, $d = 4$ cm; d) $r = 6$ cm, $R = 10$ cm, $d = 0$ cm; e) $r = 6$ cm, $R = 8$ cm, $d = 10$ cm.

A distância entre os centros de duas circunferências tangentes exteriormente é 33 cm. Determine seus diâmetros, sabendo que a razão entre seus raios é $\dfrac{4}{7}$.

A distância entre os centros de duas circunferências tangentes internamente é 5 cm. Se a soma dos raios é 11 cm, determine os raios.

Duas circunferências são secantes, sendo 20 cm a distância entre seus centros. Sabendo que o raio da menor circunferência mede 11 cm, determine o raio da maior, que é múltiplo de 6.

Duas circunferências de centros $A$ e $B$ são tangentes externamente e tangenciam internamente uma circunferência de centro $C$. Sendo $AB = 12$ m, $AC = 17$ m e $BC = 13$ m, determine os raios dessas circunferências.

Seja $P$ o ponto de tangência da circunferência inscrita no triângulo $ABC$ com o lado $\overline{AB}$. Se $AB = 7$, $BC = 6$ e $AC = 8$, quanto vale $AP$?

Considere um triângulo $ABC$ de lados $AB = c$, $AC = b$ e $BC = a$, e sejam $P$, $Q$ e $R$ os pontos em que os lados $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ tangenciam a circunferência inscrita. Calcule os segmentos $AR = x$, $BP = y$ e $CQ = z$.

Na figura, determine a medida do segmento $\overline{BD}$, sabendo que a circunferência de centro $O$ está inscrita no triângulo $ABC$ e que os lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$ medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente.

Na figura, o círculo de centro $O$ é inscrito no triângulo $ABC$, com $BD = 4$, $AF = 3$ e $EC = 5$. Qual é o perímetro do triângulo $ABC$?

Na figura, sabendo que $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$ e $p$ é o semiperímetro do triângulo, prove que $AP$ é igual a $p - a$.

Um círculo é inscrito num triângulo $ABC$ e tangencia os lados $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$, respectivamente, em $P$, $Q$ e $R$. Se $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$ e o semiperímetro é $p$, calcule $AR$, $BP$ e $CQ$.

Na figura, $PA = 10$ cm. Calcule o perímetro do triângulo $PRS$.

Na figura, $\overline{PA}$ é igual ao triplo do diâmetro da circunferência. Determine a medida do perímetro do triângulo $PDE$ em função do raio $r$ dessa circunferência.

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o raio do círculo inscrito mede 1 cm. Calcule o perímetro do triângulo.

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O quadrilátero $SATO$ é um quadrado de lado 1 cm. Indicando $BP = BT = a$ e $CP = CS = b$:

$$2p = (a + 1) + (b + 1) + (a + b) = 2(a + b) + 2 = 2 \cdot 10 + 2 = 22 \text{ cm}.$$

Na figura, calcule a medida do raio $r$ da circunferência inscrita no triângulo retângulo $ABC$, sendo $AB = 10$ cm, $AC = 24$ cm e $BC = 26$ cm.

Determine a medida do diâmetro de um círculo inscrito em um triângulo retângulo cujos lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm.

Determine o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$ e hipotenusa $a$.

Na figura, sendo $2p = a + b + c$ e $r$ o raio do círculo inscrito, calcule a medida da hipotenusa $a$ em função de $p$ e $r$.

Determine o perímetro do quadrilátero $ABCD$, circunscritível, da figura, com $AB = 3x + 1$, $BC = 2x$, $CD = x + 1$ e $DA = 3x$.

$ABCD$ é um quadrilátero circunscritível cujos lados medem $AD = 12$ cm, $DC = 9$ cm, $BC = x + 7$ e $AB = 2x + 1$. Determine o perímetro desse quadrilátero.

Calcule o valor do raio $r$ do círculo inscrito no trapézio retângulo da figura.

A diferença de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível é igual a 8 cm, e a diferença dos outros dois lados é 4 cm. Determine os lados do quadrilátero, sendo 56 cm a sua soma.

Na figura, determine o perímetro do triângulo $ADE$, sabendo que o perímetro do triângulo $ABC$ vale 10 cm, a base $\overline{BC}$ mede 4 cm e o círculo está inscrito no quadrilátero $BCDE$.

Determine a medida de um dos lados não paralelos de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo, sabendo que suas bases medem 30 cm e 10 cm.

Prove que qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunferência é losango.

Prove que o diâmetro é a maior corda de uma circunferência.

Prove que, se duas cordas de uma circunferência estão a uma mesma distância do centro, então elas são congruentes.