Galois e Cayley: uma álgebra para o que não é número

Na madrugada de 30 de maio de 1832, em Paris, um rapaz de vinte anos passou a noite escrevendo. Évariste Galois tinha um duelo marcado para o amanhecer e sabia que provavelmente não sobreviveria. Escreveu uma longa carta ao amigo Auguste Chevalier, resumindo as ideias que a Academia de Ciências tinha recusado ou perdido, e pediu que ela fosse mostrada a Jacobi e a Gauss, “não sobre a verdade, mas sobre a importância destes teoremas”. Na margem de um manuscrito, deixou uma frase que ficou famosa:

Há alguma coisa a completar nesta demonstração. Não tenho tempo.

— Évariste Galois, nota na margem de um manuscrito (1832)

Galois foi ferido no duelo e morreu no dia seguinte. As suas memórias só foram publicadas em 1846, por Joseph Liouville, e levaram décadas para ser entendidas. Elas resolviam uma pergunta de séculos: por que as equações de grau $2$, $3$ e $4$ têm fórmulas com radicais, como a de Bhaskara, e as de grau $5$ em geral não têm? O norueguês Niels Henrik Abel, morto de tuberculose aos 26 anos, já tinha provado em 1824 que não existe uma fórmula geral para o grau $5$. Galois explicou por quê, e para isso inventou uma ideia nova: o grupo.

Uma álgebra de movimentos

A ideia de Galois fica mais fácil de ver com uma figura em vez de uma equação. Recorte um triângulo equilátero de papel, numere os vértices $1$, $2$ e $3$ e desenhe o contorno dele numa folha. De quantas maneiras você pode tirar o triângulo do lugar e recolocá-lo exatamente sobre o contorno? São seis: deixar parado, girar um terço de volta, girar dois terços, ou virar o triângulo do avesso em torno de um dos três eixos de simetria.

Os antigos textos deste site chamavam esses movimentos de $M_1,\dots,M_6$ e escreviam $M_i\star M_j$ para “faça $M_j$ e, depois, $M_i$”. O resultado de dois movimentos seguidos é sempre um terceiro movimento da mesma lista, e é isso que faz deles um grupo. Todas as combinações cabem numa tabela, a que o site chamava de tabuada grupal:

(a linha diz o movimento feito por último, a coluna, o primeiro). Repare no que aconteceu do ponto de vista semiótico. Um movimento físico, girar ou virar um triângulo, virou um símbolo, e combinar movimentos virou ler uma tabela. Não é mais preciso imaginar o triângulo: a tabuada faz o trabalho.

A ordem importa

A tabuada mostra uma coisa que a multiplicação de números nunca mostrou. Procure $M_2\star M_5$ (linha $M_2$, coluna $M_5$): dá $M_6$. Agora procure $M_5\star M_2$: dá $M_4$.

A ordem dos fatores altera o produto. Girar e depois virar não é o mesmo que virar e depois girar; teste com o triângulo de papel. Na tabela, isso se vê de relance: ela não é simétrica em relação à diagonal. Os grupos em que a ordem não importa ganharam, em homenagem a Abel, o nome de grupos abelianos. O do triângulo não é um deles.

Galois percebeu que as raízes de uma equação também podem ser “movimentadas”, trocadas entre si sem quebrar as relações algébricas entre elas, e que essas trocas formam um grupo. A equação tem fórmula com radicais exatamente quando o seu grupo pode ser desmontado em pedaços abelianos de um jeito especial. Para o grau $5$, em geral, não pode. A pergunta sobre fórmulas virou uma pergunta sobre tabuadas.

Cayley: um sistema inteiro numa letra

Em 1750, o suíço Gabriel Cramer publicou uma regra para resolver sistemas de equações lineares. Funcionava, mas era descrita em palavras e índices, equação por equação, e ficava ilegível quando o sistema crescia. Faltava uma escrita para o sistema como um todo.

Ela veio em 1858, quando o inglês Arthur Cayley publicou a Memória sobre a teoria das matrizes. A ideia é juntar os coeficientes num quadro e tratar o quadro como uma única coisa. O sistema

A semelhança com $ax=b$ não é coincidência: é o motivo de a notação funcionar. Se $ax=b$ se resolve com $x=a^{-1}b$, a escrita sugere que $AX=B$ se resolva com $X=A^{-1}B$, e Cayley mostrou como dar sentido a $A^{-1}$. Ao mesmo tempo, a notação avisa onde a analogia quebra: com matrizes, $AB$ e $BA$ em geral são diferentes. Uma boa notação sugere o que fazer e também deixa ver o que não se pode fazer.

Grupos e matrizes contam a mesma história. No século XIX, a álgebra deixou de ser só a arte de calcular com números desconhecidos e passou a ser a arte de calcular com qualquer coisa que obedeça a regras: movimentos, permutações, quadros de números. A notação foi o que permitiu esse salto. Ao escrever $M_i\star M_j$ ou $AB$, os matemáticos podiam operar com objetos novos usando a mesma mão que operava com $x$ e $y$, e as diferenças (como $AB\ne BA$) ficavam escritas à vista.

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