Olhe para estas cinco linhas:

$$x+3=7,\qquad A=b\cdot h,\qquad a+b=b+a,\qquad y=kx,\qquad \operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.$$

Todas usam letras, e todas parecem álgebra. Mas as letras não fazem a mesma coisa em nenhuma delas.

  • Em $x+3=7$, o $x$ é um número fixo e desconhecido. Só o $4$ serve. É uma incógnita.
  • Em $A=b\cdot h$, as letras não escondem nada: dizem como três grandezas se relacionam. É uma fórmula, e as letras são grandezas que variam juntas.
  • Em $a+b=b+a$, as letras são números quaisquer. A frase vale para todos os pares. A letra generaliza.
  • Em $y=kx$, o $x$ e o $y$ se movem, e o $k$ fica parado. O $k$ é um parâmetro: fixo em cada problema, mas qualquer.
  • Em $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$, o $x$ também é qualquer, mas a frase não é uma equação a resolver: é uma identidade, verdadeira para todo $x$.

As concepções de Usiskin

Em 1988, o educador norte-americano Zalman Usiskin, num artigo que se tornou clássico, propôs que a álgebra escolar mistura pelo menos quatro concepções, e que cada uma dá à letra um papel diferente:

Concepção da álgebra O que a letra é Exemplo
Aritmética generalizada um número qualquer, que generaliza um padrão $a+b=b+a$
Resolução de problemas uma incógnita, a ser descoberta $3x+5=20$
Estudo de relações uma variável, que muda junto com outras $y=2x+1$
Estudo de estruturas um símbolo arbitrário, manipulado por regras $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

Na última linha, ninguém pensa em números: $x$ e $y$ são marcas que se movem segundo regras, como peças de xadrez. A essas quatro somamos aqui uma quinta, que aparece em todo o livro: a letra como nome, de uma função ($f$), de uma constante ($\pi$, $e$, $c$) ou de um objeto ($A$, o ponto; $r$, a reta).

O texto não avisa

O problema semiótico é que a escrita é a mesma para todos os papéis. Nada no significante distingue a incógnita da variável: as duas são um $x$ em itálico. Quem decide é o contexto, aquilo que Morris chamou de pragmática (veja o capítulo 2). As pistas costumam ser palavras pequenas, que o aluno aprende a ignorar e não deveria:

  • “Ache $x$ tal que…” anuncia uma incógnita.
  • “Para todo $x$…”, ou “sejam $a$ e $b$ números reais”, anuncia um número qualquer.
  • “Quando $x$ aumenta, $y$…” anuncia variáveis.
  • “Dado $a>0$…” anuncia um parâmetro.

Os matemáticos profissionais leem essas pistas sem perceber. Os alunos, muitas vezes, nem sabem que elas existem, e o resultado aparece nos erros que veremos no texto 8.

Exercício: qual é o papel de cada letra?

(a) $2n$ é sempre par. (b) $2x=10$. (c) $s=s_0+vt$. (d) $(a+1)^2=a^2+2a+1$.

(a) $n$ é um número inteiro qualquer: a letra generaliza. (b) $x$ é uma incógnita, e só vale $5$. (c) $s$ e $t$ variam juntas; $s_0$ e $v$ são parâmetros, fixos para cada movimento. (d) $a$ é qualquer: é uma identidade, e a letra pode ser tratada como símbolo arbitrário na manipulação.

Exercício: a mesma escrita, dois papéis

A expressão $x^2=4x$ pode ser lida de dois jeitos. Como equação, pede os valores de $x$ que a tornam verdadeira: $x^2-4x=0$, $x(x-4)=0$, então $x=0$ ou $x=4$. Como comparação de funções, compara as curvas $y=x^2$ e $y=4x$, e as soluções viram os pontos onde elas se cruzam. A escrita é idêntica; muda o que o leitor faz com ela.

Índice do capítulo · ← Capítulo 2: referências e créditos · A incógnita: um lugar para o que se procura →