Em 1º de janeiro de 1801, o astrônomo Giuseppe Piazzi, em Palermo, descobriu um pontinho que se movia entre as estrelas: era Ceres, hoje classificado como planeta anão. Piazzi o acompanhou por 41 dias, até ele sumir no brilho do Sol. Com tão poucas observações, ninguém sabia calcular a órbita, e Ceres parecia perdido para sempre.

Gauss, com 24 anos, criou um método novo e calculou a órbita em poucas semanas. Na noite de 31 de dezembro de 1801, o astrônomo Franz von Zach apontou o telescópio para onde Gauss indicava, e lá estava Ceres.

Anime o ano de 1801: Ceres é observado, some atrás do Sol e é reencontrado no último dia do ano. Clique em “Previsão de Gauss” para ver a órbita calculada.
*Theoria motus corporum coelestium* (1809), onde Gauss explicou o método.
Theoria motus corporum coelestium (1809), onde Gauss explicou o método.Domínio público

Parte do segredo era lidar com os erros de medida. Toda observação tem um pequeno erro. Se você mede a mesma coisa várias vezes e encontra valores diferentes, qual número escolher?

A resposta de Gauss: o número $c$ que torna mínima a soma dos quadrados dos erros. Com medidas $x_1, x_2, \ldots, x_n$, a soma é

$$S(c) = (x_1 - c)^2 + (x_2 - c)^2 + \cdots + (x_n - c)^2.$$

Abrindo os quadrados, aparece uma função do 2º grau em $c$:

$$S(c) = n\,c^2 - 2\left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right) c + \left(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\right).$$

O gráfico é uma parábola com a boca para cima, e o ponto mais baixo é o vértice, em $c = -\frac{b}{2a}$:

$$c = \frac{2\left(x_1 + \cdots + x_n\right)}{2n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.$$

É a média! O método dos mínimos quadrados explica por que a média é a melhor estimativa. E ele vai além: serve para achar a reta (ou a órbita) que passa mais perto de muitos pontos ao mesmo tempo.

Ajuste a reta para deixar os quadrados vermelhos os menores possíveis, ou clique em “Reta de Gauss”. Arraste os pontos para mudar os dados.

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