Os matemáticos sempre sonharam com uma fórmula que só produzisse números primos. Em 1640, Fermat achou que tinha encontrado uma.

Cinco primos seguidos

Fermat estudou os números da forma

$$F_n=2^{2^n}+1.$$

O expoente é uma potência de 2: $1,2,4,8,16,\ldots$ Calculando os primeiros:

$$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$

Os cinco são primos. Verificar $65\,537$ à mão, testando divisores até sua raiz quadrada, já dava trabalho. Fermat escreveu a Frénicle de Bessy que estava convencido de que todos os números dessa forma eram primos, embora admitisse não ter uma demonstração.

Um número grande demais

O próximo da lista é

$$F_5=2^{32}+1=4\,294\,967\,297.$$

Um número de dez algarismos. Para testar se é primo, seria preciso tentar divisores até cerca de 65 mil, à mão, no século XVII. Fermat não fez a conta.

Quase cem anos depois, em 1732, o jovem Leonhard Euler fez. E encontrou:

$$4\,294\,967\,297=641\times6\,700\,417.$$

A conjectura de Fermat estava errada. Um único contraexemplo basta para derrubar uma afirmação sobre todos os números.

Por que 641?

Euler não testou divisores ao acaso. Ele sabia que os divisores de $F_5$ tinham de ter uma forma especial, $64k+1$, o que reduzia muito a busca. O quinto candidato primo dessa forma é 641.

Há também um jeito elegante de verificar a divisibilidade sem fazer a divisão. Repare que 641 pode ser escrito de duas formas:

$$641=5\cdot2^7+1=5^4+2^4.$$

Na divisão por 641, a primeira forma diz que $5\cdot2^7$ deixa resto $-1$. Elevando à quarta potência, $5^4\cdot2^{28}$ deixa resto $1$. A segunda forma diz que $5^4$ deixa o mesmo resto que $-2^4$. Trocando um pelo outro:

$$-2^4\cdot2^{28}=-2^{32}\equiv1\pmod{641}.$$

Logo $2^{32}+1$ deixa resto 0: é múltiplo de 641. A conta completa está na trilha de Euler.

Um uso inesperado: o polígono de 17 lados

Desde os gregos, sabia-se construir com régua e compasso o triângulo e o pentágono regulares. Por dois mil anos ninguém conseguiu construir outro polígono regular com número primo de lados.

Em 1796, aos 18 anos, Carl Friedrich Gauss mostrou que é possível construir o heptadecágono, o polígono regular de 17 lados. E foi além: um polígono com um número primo de lados só pode ser construído com régua e compasso se esse primo for um primo de Fermat. Repare: $3=F_0$, $5=F_1$, $17=F_2$. Os próximos seriam $257$ e $65\,537$. Veja a construção na trilha de Gauss.

A conjectura de Fermat estava errada, mas os números que ela estudou eram exatamente os certos para outra pergunta.

Exercício: F₁ = 5 e F₂ = 17 são primos. Isso basta para provar que todos os Fₙ são primos?

Não. São casos particulares. Uma afirmação sobre todos os índices exige uma demonstração geral, e $F_5$ mostra que ela é falsa.

Exercício: mostre que Fₙ − 2 = F₀ · F₁ ⋯ Fₙ₋₁ para n = 3

$F_0F_1F_2=3\cdot5\cdot17=255$ e $F_3-2=257-2=255$. A identidade vale para todo $n$ e mostra que dois números de Fermat diferentes nunca têm fator comum. Daí sai uma nova prova de que existem infinitos primos.

Fontes: biografia de Fermat, MacTutor.

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