Quatro lados, quatro vértices, duas diagonais. Os quadriláteros estão em lotes, telas, mesas e janelas.

Quem descobriu

Calcular a área de terrenos de quatro lados era tarefa dos escribas do Egito e da Mesopotâmia. Inscrições do templo de Edfu, no Egito (século II a.C.), registram uma regra para a área de um terreno de quatro lados: multiplicar a média de dois lados opostos pela média dos outros dois. A regra só é exata para retângulos e superestima a área nos outros casos. A definição geométrica — figura limitada por quatro retas — é de Euclides (definição I.19 dos Elementos).

Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público

A história

Os lotes de Edfu eram doações ao templo e tinham formas irregulares. A regra dos escribas era prática e dava valores razoáveis para terrenos quase retangulares, mas mostrava um limite: sem ângulos e diagonais, quatro lados não determinam um quadrilátero. A mesma armação de quatro barras pode virar um quadrado ou um losango achatado.

Os gregos resolveram o problema dividindo o quadrilátero por uma diagonal em dois triângulos. No século VII, o indiano Brahmagupta encontrou uma fórmula exata para a área dos quadriláteros que podem ser inscritos numa circunferência, usando só os quatro lados.

No dia a dia

  • Lotes urbanos. Escrituras descrevem terrenos pelos quatro lados e ângulos; a área é calculada dividindo o lote em triângulos.
  • Portões e estantes. Um quadrilátero de barras articuladas se deforma; uma diagonal (como a “mão-francesa”) o trava.
  • Pipas. Muitas pipas são quadriláteros com dois pares de lados consecutivos iguais (deltoides).
  • Telas e folhas. Papel A4, cartões e telas de celular são quadriláteros com ângulos retos.

Fontes: Elementos, definição I.19 · Matemática egípcia (MacTutor) · Brahmagupta (MacTutor).

Teoria e construções

DefiniçãoQuadrilátero

Sejam $A$, $B$, $C$ e $D$ quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três a três não colineares. Se os segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ e $\overline{DA}$ se interceptam apenas nas extremidades, a reunião deles é um quadrilátero:

$$ABCD = \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}.$$

Os segmentos são os lados; $\hat{A} = D\hat{A}B$, $\hat{B} = A\hat{B}C$, $\hat{C} = B\hat{C}D$ e $\hat{D} = C\hat{D}A$ são os ângulos; $\overline{AC}$ e $\overline{BD}$ são as diagonais. O quadrilátero pode ser convexo ou côncavo.

Um quadrilátero tem 2 diagonais; a soma dos ângulos internos é $360^{\circ}$ (uma diagonal o divide em dois triângulos) e a soma dos ângulos externos também é $360^{\circ}$.