Euler's Eyes
2026-10-11
Consequências no triângulo
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°. É talvez o teorema de geometria mais conhecido depois do de Pitágoras.
Quem descobriu
Proclo, citando Eudemo de Rodes, atribui aos pitagóricos (séculos VI–V a.C.) a primeira demonstração geral de que os ângulos de um triângulo somam dois retos. O comentador Gêmino acrescenta que os mais antigos tinham provado o fato separadamente para triângulos equiláteros, isósceles e escalenos. A versão que chegou até nós é a proposição I.32 dos Elementos de Euclides, que prova também que o ângulo externo é igual à soma dos dois internos não adjacentes.
A história
A prova usa uma paralela a um dos lados — e, portanto, depende do quinto postulado. Isso não é detalhe: nas geometrias não euclidianas, a soma dos ângulos de um triângulo é diferente de 180°. Na superfície de uma esfera, por exemplo, ela é sempre maior.
Legendre, no fim do século XVIII, provou que, sem o quinto postulado, a soma nunca passa de 180°, e que se um único triângulo tiver soma exata de 180°, todos terão. Conta-se que Gauss, ao medir um grande triângulo entre três montanhas da Alemanha, teria verificado se a soma dava 180°; os historiadores discutem se essa era mesmo a intenção.
No dia a dia
- Rasgar os cantos. Recorte um triângulo de papel, rasgue os três cantos e junte-os: eles formam um ângulo raso.
- Telhados. Sabendo a inclinação do telhado (por exemplo, 30°) e que o topo da tesoura é simétrico, o carpinteiro calcula o ângulo do topo: 120°.
- Topografia. Ao medir os três ângulos de um terreno triangular, o topógrafo confere se a soma dá 180°; a diferença indica o erro das medidas.
- Navegação. Pilotos e navegadores calculam o terceiro ângulo de um triângulo de rota a partir dos outros dois.
Fontes: Elementos, proposição I.32 · Pitágoras (MacTutor) · Legendre (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaÂngulo externo
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele: $e = \hat{A} + \hat{B}$.
TeoremaSoma dos ângulos de um triângulo
A soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos:
$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}.$$Demonstração
- Por $C$ traçamos a reta $\overleftrightarrow{CD}$ paralela a $\overleftrightarrow{AB}$. Ela divide o ângulo externo $e$ (adjacente a $\hat{C}$) em $\alpha$ e $\beta$.
- $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ e transversal $\overleftrightarrow{AC}$: $\alpha \equiv \hat{A}$ (alternos).
- $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ e transversal $\overleftrightarrow{BC}$: $\beta \equiv \hat{B}$ (correspondentes).
- Somando: $e = \alpha + \beta = \hat{A} + \hat{B}$ — é o teorema do ângulo externo.
- Como $e$ e $\hat{C}$ são suplementares, $e + \hat{C} = 180^{\circ}$, ou seja, $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$.
PropriedadeNotas
- Ângulos de lados paralelos. Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são congruentes ou suplementares.
- Triângulo equilátero. Num triângulo equilátero cada ângulo mede $60^{\circ}$: pelo triângulo isósceles, $\hat{A} \equiv \hat{B} \equiv \hat{C}$, e a soma é $180^{\circ}$. Todo triângulo equilátero é equiângulo.
Uma consequência útil, usada em vários exercícios: se uma poligonal faz um “bico” entre duas paralelas, o ângulo do bico é a soma dos ângulos que os segmentos formam com as paralelas.