Exercícios do capítulo 11 — Ângulos na circunferência

Determine o valor do ângulo $x$ nos casos:

Determine o valor do arco $x$ nos casos:

Nas figuras, calcule o valor de $x$.

Nas figuras, calcule o valor de $\alpha$.

Nas figuras, calcule o valor do arco $\overset{\frown}{ABC}$.

Nas figuras, calcule $x$.

Na figura, sendo $\overset{\frown}{ABC} = 260^{\circ}$, calcule o valor de $\alpha$.

Calcule o valor de $x$.

O arco $\overset{\frown}{CD}$ da figura mede $105^{\circ}$. Calcule o valor de $x$.

Na circunferência, o arco $\overset{\frown}{CFD}$ excede o arco $\overset{\frown}{AEB}$ em $50^{\circ}$. Determine suas medidas, sabendo que o ângulo $\alpha$ mede $70^{\circ}$.

Na figura, o ângulo $A\hat{C}D$ é igual a $70^{\circ}$ e o ângulo $A\hat{P}D$ é igual a $110^{\circ}$. Determine a medida do ângulo $B\hat{A}C$.

Calcule $x$ nas figuras:

Calcule $x$ nas figuras:

Se $y = 75^{\circ}$ e $\overset{\frown}{AB} = 100^{\circ}$, calcule $x$.

Na figura, qual é o valor de $\alpha$?

Na figura, o arco $\overset{\frown}{CMD}$ é igual a $100^{\circ}$ e o arco $\overset{\frown}{ANB}$ mede $30^{\circ}$. Calcule o valor de $x$.

Determine a medida do ângulo $\alpha$, sabendo que, na figura, $CD = R$.

Calcule $x$ nas figuras:

Calcule $x$ nas figuras (em b, $ABCDE$ é um pentágono regular):

Na figura, o arco $\overset{\frown}{BEC}$ mede $60^{\circ}$ e $\overline{OB}$ é perpendicular a $\overline{AC}$. Determine a medida do arco $\overset{\frown}{AFB}$ e a medida do ângulo $A\hat{D}C$.

Determine as medidas dos ângulos do triângulo obtido pelos pontos de tangência do círculo inscrito com os lados de um triângulo $ABC$, sendo $\hat{A} = 60^{\circ}$, $\hat{B} = 40^{\circ}$ e $\hat{C} = 80^{\circ}$.

Determine a razão entre os ângulos $\alpha$ e $\beta$ da figura, sabendo que a reta $r$ tangencia a circunferência no ponto $A$ e que os arcos $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{BC}$ e $\overset{\frown}{AC}$ são proporcionais aos números 2, 9 e 7.

Na figura, determine a medida do ângulo $\alpha$, sabendo que o arco $\overset{\frown}{AB}$ mede $100^{\circ}$ e que a corda $\overline{CD}$ mede $R$, sendo $R$ o raio do círculo.

Determine o menor ângulo formado por duas retas secantes a uma circunferência, conduzidas por um ponto $P$ externo, sabendo que essas secantes determinam na circunferência dois arcos cujas medidas valem $30^{\circ}$ e $90^{\circ}$.

Na figura, $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ são tangentes ao círculo de centro $O$ e $Q$ é um ponto do arco menor $\overset{\frown}{BC}$. $\overline{PQR}$ é tangente ao círculo, e $\hat{A} = 28^{\circ}$. Ache $P\hat{O}R$.

Na figura, $\overline{AB}$ é um diâmetro, a corda $\overline{AM}$ é o lado do triângulo equilátero inscrito e $\overline{BN}$, o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo $\alpha$, formado pelas tangentes $\overline{PM}$ e $\overline{PN}$.

Determine as medidas $x$ e $y$.

Consideremos um triângulo equilátero $ABC$ inscrito em um círculo. Determine o menor ângulo formado pelas retas tangentes a esse círculo nos pontos $A$ e $B$.

Determine o valor de $x$ nos casos:

Mostre que, se $\overset{\frown}{AB}$ e $\overset{\frown}{CD}$ são arcos de medidas iguais de uma circunferência, então as cordas $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ são congruentes.

Prove que retas paralelas distintas, secantes a uma circunferência, determinam na circunferência, entre as paralelas, arcos de mesma medida.

Prove que um trapézio inscrito em um círculo é isósceles.

Sejam $r$ e $R$ os raios das circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo retângulo de catetos $a$ e $b$. Prove que $a + b = 2(R + r)$.

Prove que a soma dos diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a um triângulo retângulo é igual à soma dos catetos desse triângulo.

Se os lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ de um triângulo são diâmetros de duas circunferências, prove que o outro ponto comum às circunferências está em $\overline{BC}$.

Seja $ABC$ um triângulo acutângulo e $H_1$, $H_2$, $H_3$ os pés das alturas. Prove que o ortocentro $H$ do triângulo $ABC$ é o incentro do triângulo $H_1H_2H_3$.