Euler's Eyes
2026-10-15
Briggs e os logaritmos de base 10
Estes números foram inventados primeiro pelo ilustríssimo John Napier, barão de Merchiston; foram depois alterados, segundo a opinião do próprio, por Henry Briggs.
— Página de rosto da Arithmetica logarithmica de Henry Briggs (1624)
Henry Briggs era professor de geometria no Gresham College, em Londres, e um dos maiores calculadores da Inglaterra. Em março de 1615 escreveu a um amigo que Napier o tinha deixado ocupado “com a cabeça e com as mãos” com os seus novos logaritmos, e que esperava conhecê-lo naquele verão. Conheceu. Na conversa em Merchiston, os dois concordaram que as tábuas ficariam muito mais práticas com duas mudanças: o logaritmo de 1 seria 0, e o de 10 seria 1.
Os logaritmos de base 10
Com essa escolha, o logaritmo de $x$ é o expoente a que é preciso elevar 10 para obter $x$:
$$\log x=y\iff10^y=x.$$E a regra das progressões vale sem nenhum fator incômodo:
$$\log(ab)=\log a+\log b,\qquad\log\frac ab=\log a-\log b,\qquad\log a^n=n\log a.$$Calcular log 2
Como Briggs calculava esses números? Um truque simples dá uma boa ideia. Sabemos que
$$2^{10}=1024\approx1000=10^3.$$Tirando o logaritmo, $10\log2\approx3$, ou seja, $\log2\approx0{,}3$. Para melhorar, usamos o que sobrou: $2^{10}=10^3\times1{,}024$, logo
$$\log2=\frac{3+\log1{,}024}{10}.$$Para números muito perto de 1, $\log(1+h)\approx0{,}4343\,h$. Com $h=0{,}024$, $\log1{,}024\approx0{,}0104$, e então $\log2\approx0{,}30104$. O valor certo é $0{,}30103$. Daí saem outros de graça: $\log4=2\log2\approx0{,}60206$, $\log8\approx0{,}90309$ e $\log5=\log10-\log2\approx0{,}69897$.
Briggs foi muito mais longe. Tirou 54 raízes quadradas seguidas de 10, cada uma com mais de 30 casas decimais, até chegar a um número tão perto de 1 que o seu logaritmo, $1/2^{54}$, podia ser comparado diretamente com o quanto ele passava de 1. Era um trabalho monstruoso, e ele o fez à mão.
Característica e mantissa
A grande vantagem da base 10 é que mudar a vírgula de lugar só muda a parte inteira do logaritmo:
$$\log2=0{,}30103,\quad\log20=1{,}30103,\quad\log200=2{,}30103,\quad\log2000=3{,}30103.$$A parte inteira, a característica, diz quantos algarismos o número tem. A parte decimal, a mantissa, é a mesma para todos. Então basta uma tábua com as mantissas dos números de 1 a 10, e ela serve para qualquer número.
As tábuas
Em 1617, ano da morte de Napier, Briggs publicou os logaritmos de 1 a 1000, com 14 casas decimais. Em 1624, na Arithmetica logarithmica, publicou os de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000, também com 14 casas. O holandês Adriaan Vlacq completou os que faltavam em 1628. As tábuas de base 10 foram usadas por astrônomos, navegadores, engenheiros e estudantes até a década de 1970.
Exercício: com log 2 ≈ 0,30103 e log 3 ≈ 0,47712, calcule log 6, log 1,5 e log 72.
$\log6=\log2+\log3\approx0{,}77815$. $\log1{,}5=\log3-\log2\approx0{,}17609$. $72=8\times9=2^3\times3^2$, então $\log72=3\log2+2\log3\approx0{,}90309+0{,}95424=1{,}85733$. A característica 1 diz que 72 tem dois algarismos.
Exercício: use logaritmos para calcular aproximadamente 2⁶⁴, o número de grãos no tabuleiro de xadrez da lenda.
$\log2^{64}=64\log2\approx64\times0{,}30103=19{,}26592$. A característica 19 diz que o número tem 20 algarismos, e a mantissa $0{,}26592$ corresponde a $10^{0{,}26592}\approx1{,}845$. Então $2^{64}\approx1{,}845\times10^{19}$. O valor exato é $18\,446\,744\,073\,709\,551\,616$.
Fontes: Henry Briggs, Arithmetica logarithmica (Londres, 1624) · Ian Bruce, “The agony and the ecstasy: the development of logarithms by Henry Briggs”, The Mathematical Gazette 86 (2002) · Julian Havil, John Napier: Life, Logarithms, and Legacy (2014).
Todos os tópicos de John Napier · ← Os dois pontos de Napier: a definição do logaritmo · Os ossos de Napier: multiplicar com barras →