Se eu perseguir um raio de luz com a velocidade c, a velocidade da luz no vácuo, deveria ver esse raio como um campo eletromagnético em repouso, oscilando no espaço. Mas parece que tal coisa não existe.

— Albert Einstein, Notas autobiográficas (1949)

Aos 16 anos, no colégio de Aarau, Einstein se fez uma pergunta: o que eu veria se corresse ao lado de um raio de luz, na mesma velocidade? Segundo a física de Newton, a luz pareceria parada, como um carro ao lado do nosso na estrada. Mas as equações de Maxwell não admitem luz parada: para elas, a luz sempre anda a $c\approx300\,000$ km/s. Alguém estava errado. Einstein levou dez anos para descobrir quem.

Dois postulados

Em junho de 1905, Einstein enviou aos Annalen der Physik o artigo “Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento”. Ele partia de duas hipóteses:

  1. As leis da física são as mesmas para todos os observadores que se movem com velocidade constante. Num trem que anda sem solavancos, nenhuma experiência feita lá dentro revela se o trem está parado ou em movimento.
  2. A velocidade da luz no vácuo é a mesma, $c$, para todos esses observadores, não importa como a fonte ou o observador se movam.

A segunda parece inofensiva, mas é escandalosa. Se você corre a 100 000 km/s atrás de um raio de luz, ainda assim mede o raio se afastando de você a 300 000 km/s. Para isso ser possível, alguma coisa tem de ceder. Einstein mostrou que o que cede é o tempo.

O relógio de luz

Imagine um relógio feito de dois espelhos paralelos, a uma distância $L$, com um pulso de luz quicando entre eles. Cada ida e volta é um tique. Para quem está junto do relógio, o tique dura

$$\Delta\tau=\frac{2L}{c}.$$

Agora ponha o relógio dentro de um trem que passa por você com velocidade $v$. Para você, na plataforma, a luz não sobe e desce na vertical: enquanto ela vai de um espelho ao outro, o trem anda, e o caminho da luz é uma diagonal, mais comprida.

O relógio de luz visto da plataforma. Enquanto a luz vai do espelho de baixo ao de cima, o relógio anda v Δt/2. A luz percorre a diagonal, c Δt/2, mais comprida que L.
O relógio de luz visto da plataforma. Enquanto a luz vai do espelho de baixo ao de cima, o relógio anda v Δt/2. A luz percorre a diagonal, c Δt/2, mais comprida que L.Ilustração de Euler’s Eyes

Se o tique, medido por você, dura $\Delta t$, então em meio tique a luz percorre $c\frac{\Delta t}2$ e o trem anda $v\frac{\Delta t}2$. A altura continua $L$. Pelo teorema de Pitágoras,

$$\left(\frac{c\,\Delta t}2\right)^2=L^2+\left(\frac{v\,\Delta t}2\right)^2.$$

Como $L=\frac{c\,\Delta\tau}2$, substituindo e dividindo tudo por $\frac{c^2}4$:

$$\Delta t^2=\Delta\tau^2+\frac{v^2}{c^2}\Delta t^2\quad\Longrightarrow\quad \Delta t^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=\Delta\tau^2.$$

E chegamos à fórmula da dilatação do tempo:

$$\boxed{\Delta t=\gamma\,\Delta\tau,\qquad \gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}.}$$

O número $\gamma$, o fator de Lorentz, é sempre maior que 1. Para você, o relógio do trem anda mais devagar. E como qualquer relógio, um coração, um átomo, tem de concordar com o de luz, senão os passageiros descobririam que estão em movimento, é o próprio tempo do trem que passa mais devagar.

Velocidade $\gamma$ 1 segundo no trem dura, na plataforma
300 km/h $1{,}00000000000004$ 1 segundo
$0{,}6c$ $1{,}25$ 1,25 segundo
$0{,}8c$ $1{,}67$ 1,67 segundo
$0{,}99c$ $7{,}09$ 7,09 segundos

No dia a dia, $\gamma$ é tão perto de 1 que o efeito é invisível. Ele só aparece perto da velocidade da luz.

O astronauta que volta mais jovem

Um astronauta viaja até uma estrela e volta a $0{,}8c$. Pelo relógio da nave, a viagem dura 6 anos. Na Terra, passam-se

$$\Delta t=\frac{6}{\sqrt{1-0{,}8^2}}=\frac6{0{,}6}=10\ \text{anos}.$$

Ao voltar, o astronauta está 4 anos mais jovem do que o irmão gêmeo que ficou. Isso parece um paradoxo, porque do ponto de vista da nave é a Terra que se move. A diferença é que o astronauta dá meia-volta, acelera e muda de referencial; o irmão na Terra, não. As duas situações não são simétricas, e as contas feitas com cuidado dão sempre o mesmo resultado: quem viajou envelhece menos.

Os múons que chegam ao chão

Isso não é ficção científica. Os raios cósmicos que atingem a atmosfera produzem, a uns 10 km de altura, partículas chamadas múons, que vivem em média só $2{,}2$ microssegundos antes de se desintegrar e andam a $0{,}998c$. Pela física de Newton, eles percorreriam em média

$$0{,}998\cdot3\times10^8\ \text{m/s}\cdot2{,}2\times10^{-6}\ \text{s}\approx660\ \text{m}$$

e quase nenhum chegaria ao chão. Mas chegam aos milhares, por todo metro quadrado, a cada minuto. Com $v=0{,}998c$, $\gamma\approx15{,}8$: para nós, o relógio interno do múon anda quase 16 vezes mais devagar, ele vive uns 35 microssegundos e percorre em média uns $10{,}4$ km. A dilatação do tempo foi medida assim em 1941, e confirmada com precisão em aceleradores de partículas e em relógios atômicos levados em aviões.

Os comprimentos encolhem

Se os tempos mudam, as distâncias também. Para o múon, que se vê parado, é a atmosfera que corre na sua direção, e a camada de 10 km aparece encolhida por $\gamma$, com só uns 630 m: dá tempo de atravessá-la. Em geral, um objeto de comprimento $L_0$ em repouso, medido por quem o vê passar com velocidade $v$, tem comprimento

$$\boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

na direção do movimento. É a contração de Lorentz. Um carro de 3 m a 300 km/h encolhe cerca de $10^{-13}$ m, menos que o tamanho de um átomo. Uma nave de 100 m a 260 000 km/s, ou $0{,}867c$, tem $\gamma\approx2{,}01$ e aparece com só uns 50 m.

Exercício: a estrela mais próxima, Alfa Centauri, está a 4,37 anos-luz. Quanto dura a viagem de ida a 0,8c, para a Terra e para o astronauta?

Para a Terra, a nave percorre 4,37 anos-luz a 0,8 ano-luz por ano: $\frac{4{,}37}{0{,}8}\approx5{,}46$ anos. Para o astronauta, o tempo é dividido por $\gamma=\frac53$: $5{,}46\cdot0{,}6\approx3{,}28$ anos. Do ponto de vista dele, a distância encolheu para $4{,}37\cdot0{,}6\approx2{,}62$ anos-luz, que ele percorre em $\frac{2{,}62}{0{,}8}\approx3{,}28$ anos: as duas contas concordam.

Exercício: a que velocidade um relógio precisa andar para marcar metade do tempo da plataforma?

Queremos $\gamma=2$, ou seja, $\sqrt{1-v^2/c^2}=\frac12$. Elevando ao quadrado, $1-\frac{v^2}{c^2}=\frac14$, e $v=\frac{\sqrt3}2c\approx0{,}866c$, cerca de 260 000 km/s. É a velocidade da nave do exemplo acima, que encolhe pela metade.

Fontes: Albert Einstein, “Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento”, Annalen der Physik 17 (1905), em O ano miraculoso de Einstein, org. John Stachel (Editora UFRJ, 2001) · Bruno Rossi e David B. Hall, “Variation of the rate of decay of mesotrons with momentum”, Physical Review 59 (1941) · Einstein Online, relatividade especial.

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