Euler's Eyes
2026-10-14
As equações de Maxwell: das linhas de força de Faraday aos vetores
Fiquei quase assustado, no começo, ao ver tanta força matemática aplicada ao assunto, e depois me admirei de ver que o assunto a suportava tão bem.
— Michael Faraday, carta a Maxwell (25 de março de 1857)
Até 1820, eletricidade e magnetismo eram assuntos separados. A eletricidade fazia faíscas e arrepiava os cabelos; o magnetismo fazia as bússolas apontarem para o norte. Naquele ano, numa aula na Universidade de Copenhague, o dinamarquês Hans Christian Oersted ligou uma pilha a um fio e viu que uma agulha magnética próxima se mexia. A corrente elétrica produzia magnetismo.
As linhas de força de Faraday
Em Londres, Michael Faraday, filho de um ferreiro, que tinha deixado a escola aos 13 anos para ser aprendiz de encadernador, levou a descoberta adiante. Em 1821, construiu o primeiro motor elétrico: um fio que girava em volta de um ímã. Em 1831, descobriu o contrário de Oersted: um ímã que se move perto de um fio produz corrente elétrica. É a indução eletromagnética, o princípio de todos os geradores de usinas e dínamos de bicicleta.
Faraday não sabia matemática além da aritmética. Para pensar, ele imaginava o espaço em volta dos ímãs e das cargas cheio de linhas de força, como as que a limalha de ferro desenha em volta de um ímã. As linhas eram o que importava, não os ímãs. Os matemáticos achavam a ideia ingênua: para eles, as forças agiam à distância, como a gravidade de Newton.
Maxwell levou as linhas de Faraday a sério. Em 1855, aos 24 anos, publicou “Sobre as linhas de força de Faraday”, traduzindo as figuras em equações. Em 1861 e 1862, em “Sobre as linhas físicas de força”, imaginou um modelo mecânico para o espaço: tubos de fluido girando, separados por bolinhas que funcionavam como rodas dentadas. O modelo era estranho, mas funcionou como andaime. Com ele, Maxwell encontrou a corrente de deslocamento e a velocidade das ondas. Em 1865, em “Uma teoria dinâmica do campo eletromagnético”, desmontou o andaime: sobraram só as equações, vinte, com vinte incógnitas, escritas componente por componente.
Quatérnios ou vetores?
Vinte equações eram difíceis de ler. Era preciso uma notação melhor, e havia uma candidata: os quatérnios do irlandês William Rowan Hamilton, números com quatro partes, $q=w+ai+bj+ck$. O amigo de escola de Maxwell, Peter Guthrie Tait, era o grande defensor dos quatérnios, e nas cartas que trocaram entre 1870 e 1871 tentou convencê-lo a usá-los no Tratado.
Maxwell aproveitou só a metade. Gostava da parte com três componentes, $ai+bj+ck$, que representava bem uma grandeza com direção, como um campo magnético, mas não via sentido físico na quarta parte, $w$. No Tratado sobre eletricidade e magnetismo (1873), separou a parte escalar da vetorial e usou os quatérnios com moderação. Num artigo de 1871, inventou nomes para as operações sobre campos que usamos até hoje: o curl, o rotacional, que mede quanto um campo gira em volta de um ponto, e a convergence, que mede quanto ele converge para um ponto e é o oposto da divergência atual.
O passo seguinte foi dado por dois leitores autodidatas do Tratado. O inglês Oliver Heaviside, um telegrafista que tinha largado a escola aos 16 anos, e o americano Josiah Willard Gibbs, de Yale, abandonaram os quatérnios e criaram, cada um por seu lado, a análise vetorial moderna, com o produto escalar e o produto vetorial. Em 1884 e 1885, Heaviside reescreveu as vinte equações de Maxwell em quatro. É nessa forma que elas aparecem hoje em qualquer livro.
As quatro equações
No vácuo, com cargas de densidade $\rho$ e correntes de densidade $\mathbf J$, os campos elétrico $\mathbf E$ e magnético $\mathbf B$ obedecem a
$$\boxed{\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\cdot\mathbf B&=0\\ \nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\\ \nabla\times\mathbf B&=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\end{aligned}}$$onde $\varepsilon_0$ e $\mu_0$ são duas constantes medidas em laboratório. A divergência $\nabla\cdot$ mede quanto um campo “sai” de um ponto, como água de uma fonte; o rotacional $\nabla\times$ mede quanto ele “gira” em volta de um ponto, como água num ralo. Em palavras:
| Equação | Nome | O que diz |
|---|---|---|
| 1 | Lei de Gauss | As linhas de campo elétrico nascem nas cargas positivas e morrem nas negativas. |
| 2 | Lei de Gauss do magnetismo | As linhas de campo magnético nunca começam nem terminam: não há polo magnético isolado. |
| 3 | Lei de Faraday | Um campo magnético que varia cria um campo elétrico que gira em volta dele. |
| 4 | Lei de Ampère-Maxwell | Uma corrente, ou um campo elétrico que varia, cria um campo magnético que gira em volta dela. |
Para calcular o movimento de uma carga $q$ com velocidade $\mathbf v$, junta-se a força de Lorentz, $\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$, e está ali todo o eletromagnetismo.
Um teste: a lei de Coulomb
As equações contêm as leis antigas. Tome uma carga $q$ parada. Por simetria, o campo aponta para fora, com o mesmo valor $E$ em todos os pontos de uma esfera de raio $r$. A lei de Gauss, na forma integral, diz que o fluxo do campo através da esfera é a carga dividida por $\varepsilon_0$:
$$E\cdot4\pi r^2=\frac q{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}.$$É a lei de Coulomb, de 1785: a força cai com o quadrado da distância, como a gravidade de Newton. A razão é geométrica: as mesmas linhas de força se espalham por uma área $4\pi r^2$, que cresce com o quadrado do raio.
Exercício: o campo E = (−y, x, 0) gira em volta do eixo z. Calcule o seu rotacional e a sua divergência.
O rotacional é $\nabla\times\mathbf E=\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z},\ \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x},\ \frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)=(0,0,1-(-1))=(0,0,2)$. A divergência é $\frac{\partial(-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+0=0$. O campo gira sem sair de lugar nenhum: rotacional não nulo, divergência nula, como as linhas de um campo magnético em volta de um fio.
Exercício: qual é o campo elétrico a 1 m de uma carga de 1 microcoulomb? Use 1/(4πε₀) ≈ 9 × 10⁹.
$E=9\times10^9\cdot\frac{10^{-6}}{1^2}=9\,000$ volts por metro. A 2 m, o campo é quatro vezes menor, 2 250 V/m; a 10 m, cem vezes menor, 90 V/m.
Fontes: James Clerk Maxwell, “A dynamical theory of the electromagnetic field”, Philosophical Transactions of the Royal Society 155 (1865) · Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (Dover, 1994), caps. 4–5 · Lições de Física de Feynman, volume II, capítulo 18.
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