Euler's Eyes
2026-10-11
Exercícios do capítulo 2 — Segmento de reta
Exercícios e resoluções
Se o segmento $\overline{AB}$ mede 17 cm, determine o valor de $x$ nos casos:
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a) $x + 7 = 17 \Rightarrow x = 10$. b) $PA = PB + BA$: $21 = x + 17 \Rightarrow x = 4$. c) $(x + 3) + x = 17 \Rightarrow x = 7$. d) $AP = AB + BP$: $2x = 17 + (x - 3) \Rightarrow x = 14$.
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a) $x = 10$ cm · b) $x = 4$ cm · c) $x = 7$ cm · d) $x = 14$ cm
Determine $x$, sendo $M$ ponto médio de $\overline{AB}$:
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a) $x = 7$ · b) $x = 6$
Determine $PQ$, sendo $AB = 31$:
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a) $AB = AQ + QB = 2x + (x + 1) = 31 \Rightarrow x = 10$. Então $AP = 9$, $AQ = 20$ e $PQ = 20 - 9 = 11$.
b) $AB = AP + PB = x + 11 = 31 \Rightarrow x = 20$. Então $PQ = PB + BQ = 11 + 21 = 32$.
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a) $PQ = 11$ · b) $PQ = 32$
Determine $AB$, sendo $M$ ponto médio de $\overline{AB}$:
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a) $2x - 5 = x + 8 \Rightarrow x = 13$, então $AB = 2 \cdot 21 = 42$.
b) $AM = MB = x$ e $AP = AB + BP$: $4x - 5 = 2x + (x + 7) \Rightarrow x = 12$, então $AB = 24$.
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a) $AB = 42$ · b) $AB = 24$
Quantas semirretas há numa reta, com origem nos quatro pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ da reta?
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8 semirretas: de cada um dos 4 pontos partem 2 semirretas opostas.
Três pontos distintos de uma reta, quantos segmentos distintos podem determinar?
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3 segmentos: $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$.
Quantos segmentos há que passam pelos pontos $A$ e $B$ distintos? Quantos há com extremidades $A$ e $B$?
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Infinitos segmentos passam por $A$ e $B$; com extremidades $A$ e $B$ há um único.
Exercício 13 — Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F)
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Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
Falso. $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ podem formar um “bico”, fora de uma mesma reta.
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Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
Falso. Podem estar na mesma reta sem extremidade comum.
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Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
Verdadeiro. A definição de adjacentes exige que sejam colineares.
-
Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
Falso. Faltaria serem consecutivos sem pontos internos comuns.
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Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
Verdadeiro. Também faz parte da definição.
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Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
Falso. $\overline{RS}$ e $\overline{ST}$ sobrepostos são consecutivos e não adjacentes.
O segmento $\overline{AB}$ de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento $\overline{CD}$ dessa mesma reta. Determine a medida de $\overline{AB}$, considerando como unidade de medida a quinta parte do segmento $\overline{CD}$.
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$AB = 25$ unidades.
$P$, $A$ e $B$ são três pontos distintos de uma reta. Se $P$ está entre $A$ e $B$, que relação deve ser válida entre os segmentos $\overline{PA}$, $\overline{PB}$ e $\overline{AB}$?
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$\overline{PA} + \overline{PB} = \overline{AB}$
$P$, $Q$ e $R$ são três pontos distintos de uma reta. Se $\overline{PQ}$ é igual ao triplo de $\overline{QR}$ e $PR = 32$ cm, determine as medidas dos segmentos $\overline{PQ}$ e $\overline{QR}$.
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Fazendo $QR = x$, temos $PQ = 3x$. Há duas possibilidades:
1º caso: $3x + x = 32 \Rightarrow x = 8$, logo $PQ = 24$ cm e $QR = 8$ cm.
2º caso: $3x = 32 + x \Rightarrow x = 16$, logo $PQ = 48$ cm e $QR = 16$ cm.
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$PQ = 24$ cm e $QR = 8$ cm, ou $PQ = 48$ cm e $QR = 16$ cm.
Os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, $\overline{BC}$ e $\overline{CD}$ são adjacentes, de tal maneira que $\overline{AB}$ é o triplo de $\overline{BC}$, $\overline{BC}$ é o dobro de $\overline{CD}$ e $AD = 36$ cm. Determine as medidas dos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{CD}$.
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$AB = 24$ cm, $BC = 8$ cm e $CD = 4$ cm.
Sejam $P$, $A$, $Q$ e $B$ pontos dispostos sobre uma reta $r$, nessa ordem. Se $\overline{PA}$ e $\overline{QB}$ são segmentos congruentes, mostre que $\overline{PQ}$ e $\overline{AB}$ são congruentes.
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Sai por soma: $\overline{PQ} = \overline{PA} + \overline{AQ}$ e $\overline{AB} = \overline{AQ} + \overline{QB}$; como $\overline{PA} \equiv \overline{QB}$, segue $\overline{PQ} \equiv \overline{AB}$.
Se $A$, $B$ e $C$ são pontos colineares, determine $AC$, sendo $AB = 20$ cm e $BC = 12$ cm.
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$AC = 8$ cm ou $AC = 32$ cm.
$\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ são dois segmentos adjacentes. Se $\overline{AB}$ é o quíntuplo de $\overline{BC}$ e $AC = 42$ cm, determine $AB$ e $BC$.
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$AB = 35$ cm e $BC = 7$ cm.
Sendo $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ segmentos colineares consecutivos, $\overline{AB}$ o quádruplo de $\overline{BC}$ e $AC = 45$ cm, determine $AB$ e $BC$.
Dica: consecutivos e colineares não precisam ser adjacentes — $C$ pode estar entre $A$ e $B$.
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($AB = 36$ cm e $BC = 9$ cm) ou ($AB = 60$ cm e $BC = 15$ cm).
Numa reta $r$, tomemos os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ e um ponto $P$ de modo que $\overline{AB}$ seja o quíntuplo de $\overline{PC}$, $\overline{BC}$ seja o quádruplo de $\overline{PC}$ e $AP = 80$ cm. Sendo $M$ e $N$ os pontos médios de $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, respectivamente, determine $MN$.
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$MN = 36$ cm, $45$ cm ou $20$ cm, conforme a posição dos pontos.
Sejam quatro pontos $A$, $B$, $C$, $D$ dispostos sobre uma mesma reta $r$, nessa ordem, e tais que $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ sejam congruentes. Demonstre que os segmentos $\overline{AD}$ e $\overline{BC}$ têm o mesmo ponto médio.
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$(\overline{BM} \equiv \overline{MC},\ \overline{AB} + \overline{BM} = \overline{AM},\ \overline{MC} + \overline{CD} = \overline{MD},\ \overline{AB} \equiv \overline{CD}) \Rightarrow \overline{AM} \equiv \overline{MD}$, em que $M$ é o ponto médio de $\overline{BC}$.
Sejam quatro pontos $A$, $B$, $C$, $D$ dispostos sobre uma mesma reta, nessa ordem, e tais que os segmentos $\overline{AC}$ e $\overline{BD}$ sejam congruentes. Demonstre que os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ são congruentes e que os segmentos $\overline{BC}$ e $\overline{AD}$ têm o mesmo ponto médio.
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$(\overline{AB} = \overline{AC} - \overline{BC},\ \overline{CD} = \overline{BD} - \overline{BC},\ \overline{AC} \equiv \overline{BD}) \Rightarrow \overline{AB} \equiv \overline{CD}$. Depois, aplique o exercício 23.
Sejam $M$ e $N$ os pontos médios, respectivamente, dos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, contidos numa mesma reta, sendo $\overline{AB} \equiv \overline{BC}$, com $A \neq C$. Demonstre que $\overline{MN}$ é congruente a $\overline{AB}$.
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Com $AB = BC = 2a$ e $B$ entre $A$ e $C$: $MN = MB + BN = a + a = 2a = AB$.
Os três próximos exercícios podem ser explorados na figura a seguir. Escolha o exercício e arraste os pontos: a relação continua valendo em todas as posições.
Dados três pontos $A$, $B$, $C$ sobre uma mesma reta, consideremos $M$ e $N$ os pontos médios dos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$. Demonstre que $\overline{MN}$ é igual à semissoma ou à semidiferença dos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$.
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Se $B$ está entre $A$ e $C$: $MN = \dfrac{AB + BC}{2}$ (semissoma). Caso contrário: $MN = \dfrac{|AB - BC|}{2}$ (semidiferença).
Seja $\overline{AB}$ um segmento de reta e $M$ o seu ponto médio. Consideremos um ponto $P$ entre os pontos $M$ e $B$. Demonstre que $PM$ é dado pela semidiferença positiva entre $PA$ e $PB$.
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Indicando a medida de $\overline{AB}$ por $2a$ e a de $\overline{PM}$ por $x$, temos $AM = MB = a$ e
$$PA = a + x \quad\text{e}\quad PB = a - x \ \Longrightarrow\ PA - PB = 2x \ \Longrightarrow\ PM = x = \frac{PA - PB}{2}.$$Consideremos sobre uma reta $r$ um segmento fixo $\overline{AB}$ e um ponto móvel $P$. Seja $M$ o ponto médio de $\overline{AP}$ e $N$ o ponto médio de $\overline{BP}$. O que podemos dizer a respeito do segmento $\overline{MN}$?
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$\overline{MN}$ tem medida constante: $MN = \dfrac{AB}{2}$, qualquer que seja a posição de $P$.