Lógica Matemática

Em matemática pura o que precisamos aprender é provar aquilo que é proposto. Todo matemático é igual a São Tomé, isto é, temos que ver para crer. Porém, há uma diferença entre provar e convencer.

O que usamos basicamente é técnicas de redação, mais precisamente, redação dissertativa (ou dissertativa matemática lógica).

Qualquer argumento que é dado a nós, quando este argumento vale, geralmente é que esta pessoa está tentando convencer de que é verdade.

Em matemática, quando provamos algo, tal espaço não existe. Em uma demonstração (prova) assumimos algo como verdade (hipótese), para consequentemente deduzirmos outras afirmações.

Qual a diferença entre convencer e provar:

• Convencer é uma tentativa de provar que é verdade e muitos passos são passíveis de discussão.
• em uma demonstração, apenas o que assumimos como verdade (hipótese) é passível deste tipo de discussão.

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Silogismo

Aqui vamos aprender o silogismo. Para isto, vamos usar diversos exemplos para começarmos a entrar no mundo da lógica matemática. Por exemplo:

Exemplo 1:

• Todo animal é mortal (hipótese);
• O leão é macho (hipótese);
• Logo, o leão é mortal (conclusão).

Aqui vamos referenciar o Anime School Rumble, e vamos homenagear o autor Jin Kobayashi.

Harima e os Animais	Harima e os Animais 1	Leão

Como podemos interpretar a construção? As duas primeiras afirmações é o que assumimos como verdade, enqaunto a última é a conclusão. Até podemos discutir se as hipóteses são verdadeiras ou não, mas uma vez que supomos as hipóteses como verdadeiras, não há outra conclusão a não ser que ela seja verdadeira também.

Um detalhe importante é que o silogismo é um método de construção de hipóteses. No exemplo anterior, podemos notar que não precisamos assumir ou saber sobre os termos “macho”, “mortal” ou mesmo leão para construção das hipóteses.

Ao seguirmos estes argumentos, podemos propor outras tentativas de provas.

Exemplo 2: Verdadeiro

• Nenhum rato voa (hipótese);
• O Pikachu é um rato elétrico (hipótese);
• Logo, o Pikachu não voa (conclusão).

A seguir temos as figuras e vamos referencias o jogo Pokémon GO e o Anime Pokémon. Boa parte das figuras foram retiradas do Freepik.

Rato Voador	Pikachú	Pikachú não Voa

Fake new matemática

Exemplo 3: Falso

• Todo mamífero é azul (hipótese);
• Todo gato é um mamífero (hipótese);
• Portanto, todo gato é azul (conclusão).

Mamífero Azul	Gato Mamífero	Gato em geral

A conclusão deste último exemplo é falsa, mas isso não é um problema de desenvolvimento de silogismo. Fato é que a primeira hipótese é falsa. O que podemos concluir com este exemplo?

Uma maneira ou única forma de obtermos uma afirmação falsa, é assumirmos como verdade uma outra firmação falsa. Isto está em moda, no Brasil está em moda a onda de “fake news”. Mais especificamente, obtemos como conclusão uma afirmação falsa (todo gato é azul), porque uma das hipóteses é falsa (todo mamífero é azul).

Apesar da conclusão ser falsa, a construção do silogismo está correto. Neste caso, usamos duas hipóteses e uma conclusão que decorren delas.

Construção de silogismos errados

Exemplo 4:

• Alguns ratos são pretos (hipótese);
• O Pikachu é um rato (hipótese);
• Portanto, o Pikachu é preto (conclusão).

Alguns ratos pretos	Pikachú	Pikachú Preto

Neste exemplo, tentamos derivar a partir de hipóteses de que alguns ratos são amarelos, que o Pikachu é um mamífero, e que lagum determinado é amarelo, que não é verdade.

Se sabemos que apenas alguns são amarelos, ao tomarmos um exemplo em particular, não podemos concluir que ele necessariamente é amarelo. Podem ser verdadeiras simultaneamente as frases:

• Alguns ratos são pretos
• Pikachu é um rato
• Pikachu não é preto

Este caso é diferente do exemplo 2, em que derivamos a partir da palavra “todos” e um exemplo particular tinha determinada propriedade.

Exemplo 5:

• Alguns ratos são marrons (hipótese);
• O Euler é um homem (hipótese);
• Logo, Euler é uma planta (conclusão).

Alguns ratos marrons	Euler	Plantas

Neste exemplo de silogismo é que as hipóteses e a conclusão nada dizem sobre as outras, isto é, uma tremenda bagunça. As frases podem ser verdadeiras ou falsas em conjunto.

Sofismas

Um dos problemas dos silogismos é quando utilizamos em liguagem corriqueira do cotidiano. Isto pode nos levar a erros de construção de silogismos. A seguir, apresetnamos alguns exemplos de sofismas.

Exemplo 6:

• Quanto mais queijo suiço, mais buracos há no queijo (hipótese);
• Quanto mais buracos em um pedaço de queijo, menos queijo em tal pedaço (hipótese);
• Logo, quanto mais queijo, menos queijo (conclusão).

Quanto mais queijo suiço, mais buracos no queijo	Quanto mais buracos, menos queijo	Quanto mais queijo, menos queijo (What?)

Exemplo 7:

• Todo cachorro raro é caro (hipótese);
• Um cachorro barato é raro (hipótese);
• Logo, um cachorro barato é caro (conclusão).

Para os cachorros raros, vamos dar o crédito para o site Perito Animal. Já para o cachoro mais caro do mundo podemos referenciar em primeiro lugar no ranking o gigante Mastim Tibetano. Originário na China, esse “urso de pelúcia” é considerado por muitos um símbolo de status, e seu preço médio é de R$ 1,5 milhão. O site Clube para cachorros fala sobre os detalhes.

Cachorro Raro (Cachorro Panda)	Cahorro barato	Um cachorro barato é caro (What?)

Desta forma, por definição, um sofisma é quando as regras de lógica foram seguidas, mas a conclusão é claramente falsa. Este tipo de linguagem nos causam problemas de lógica. Por exemplo:

• mais
• menos
• caro
• barato
• rato
• dentre outros

Autorreferência

Autorreferência é um fenômeno em linguagem formal, que consiste de uma oração ou fórmula que referimos a si mesmo, diretamente ou através de alguma oração ou fórmula intermediária, ou por meio de alguma codificação.

Para matemática, contornamos este problema, ao usarmos linguagem própria, em que não sobra espaço para interpretações. Então, para matemática, vamos evitar linguagem coloquial para desenvolvermos as demonstrações. Outro tipo de frase que devemos evitar é frases do tipo “Esta afirmação é falsa”, que é um exemplo de autorreferência.

Esta frase é um exemplo que não há como dizer que a afirmação é verdadeira ou falsa, pois:

• se consideramos verdadeira, ela se diz falsa.
• se consideramos falsa, termos que é verdadeira.

Good News	Fato ou Fake?	Notícias

Desafio

• Existem duas portas:
  • uma que leva ao céu
  • e outra que leva ao inferno.
• Cada porta é protegida por um guardião.
  • Um deles só diz a verdade
  • e o outro só diz mentira.
• Você não sabe
  • qual porta leva
    • ao céu
    • ou ao inferno,
  • nem sabe quem fala
    • verdade
    • ou mentira.
• Não necessariamente
  • o que fala mentira guarda a porta do inferno,
  • e o que fala verdade guarda a porta do céu.
• Partindo disso, diga como proceder para passar pela porta que leva ao céu.
  • sendo que, você pode fazer uma única pergunta aos dois guardiões.
  • Você só tem uma chance de perguntar.

Minha sugestão é perguntar para qualquer um dos dois o seguinte:

Qual porta o outro guardião me mostrará, se eu perguntar a ele qual porta leva ao céu?

Os dois guardiões mostrarão a porta do inferno, pois:

• Pergunta aoguardião que fala a verdade:
  • Como o guardião que fala mentira te mostrará a porta do inferno, pois se você pergunta pelo céu ele responderá com uma mentira
  • então esse que fala a verdade realmente te mostrará a porta do inferno.
• Perguntando ao que fala a mentira:
  • Como o guardião que fala a verdade realmente te mostrará a porta do céu, pois esse guardião mostrará o contrário da resposta,
  • então também mostrará a porta do inferno.

Logo, você deve entrar pela porta oposta aos que os guardiões apontaram.

Nos próximos posts, vamos continuar as noções de lógica. Neste post, foi apenas uma introdução.