Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que subtende o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto.

— Euclides, Elementos, Proposição I.47

Muito antes dos gregos, os agrimensores do Egito, que remarcavam os campos depois de cada cheia do Nilo, eram chamados de esticadores de corda. Conta-se que usavam uma corda com 12 nós igualmente espaçados: esticada num triângulo de lados 3, 4 e 5, ela dava um ângulo reto. Os babilônios conheciam muito mais: uma tabuleta de barro de cerca de 1800 a.C., a Plimpton 322, traz uma lista de triângulos retângulos com lados inteiros, alguns enormes, como 3 367, 3 456 e 4 825.

O antigo curso de geometria deste site começava pelos exemplos mais simples:

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2,\qquad 6^2+8^2=36+64=100=10^2.$$

O que faltava a egípcios e babilônios era a prova de que a relação vale para todo triângulo retângulo. A tradição a atribui a Pitágoras, no século VI a.C., mas nenhuma prova dele sobreviveu. A mais antiga que temos é a de Euclides, a penúltima proposição do Livro I.

A prova do moinho

Seja $ABC$ um triângulo com ângulo reto em $A$, catetos $AB=c$ e $AC=b$ e hipotenusa $BC=a$. Construa um quadrado sobre cada lado. A figura que resulta lembra um moinho de vento, e por isso a prova ganhou esse apelido; os árabes a chamavam de “cadeira da noiva”.

A figura da Proposição I.47. A altura baixada de A, tracejada, divide o quadrado sobre a hipotenusa em dois retângulos: o da esquerda tem a mesma área do quadrado sobre AB, e o da direita, a mesma área do quadrado sobre AC.
A figura da Proposição I.47. A altura baixada de A, tracejada, divide o quadrado sobre a hipotenusa em dois retângulos: o da esquerda tem a mesma área do quadrado sobre AB, e o da direita, a mesma área do quadrado sobre AC.Ilustração de Euler’s Eyes

A ideia de Euclides é dividir o quadrado grande, sobre $BC$, em dois retângulos, traçando por $A$ a perpendicular a $BC$. Depois, mostrar que cada retângulo tem a mesma área de um dos quadrados pequenos. A prova usa só dois fatos já demonstrados:

  • I.4: dois triângulos com dois lados iguais e o ângulo entre eles igual são iguais, e têm a mesma área.
  • I.41: um triângulo com a mesma base e a mesma altura de um paralelogramo tem metade da área do paralelogramo.

Para o retângulo da esquerda, Euclides olha para dois triângulos que têm um vértice em $B$. O primeiro é formado por $B$, por $A$ e pelo vértice do quadrado de baixo que fica embaixo de $B$; o segundo, por $B$, por $C$ e pelo vértice do quadrado de $AB$ que é vizinho de $B$ e diferente de $A$. Esses dois triângulos têm dois lados iguais, um lado do quadrado de $AB$ e um lado do quadrado de $BC$, e o ângulo entre eles igual: um ângulo do triângulo mais um ângulo reto. Pela I.4, têm a mesma área.

Agora, pela I.41, o primeiro triângulo tem metade da área do retângulo da esquerda, porque tem a mesma base e a mesma altura. E o segundo tem metade da área do quadrado sobre $AB$, pela mesma razão. Então

$$\text{retângulo da esquerda}=\text{quadrado sobre }AB=c^2.$$

O mesmo raciocínio, do outro lado, dá $\text{retângulo da direita}=b^2$. Somando:

$$\boxed{a^2=b^2+c^2.}$$

Uma prova mais curta, com semelhança

No Livro VI, depois da teoria das proporções, Euclides dá uma segunda prova. A altura $AH$ divide o triângulo $ABC$ em dois triângulos menores, semelhantes ao grande. Chamando $BH=m$ e $HC=n$, com $m+n=a$, a semelhança dá

$$\frac{c}{a}=\frac{m}{c}\quad\Longrightarrow\quad c^2=am,\qquad\frac{b}{a}=\frac{n}{b}\quad\Longrightarrow\quad b^2=an.$$

Somando, $b^2+c^2=a(m+n)=a^2$. São exatamente os dois retângulos da figura: $am$ e $an$.

A recíproca

A última proposição do Livro I, a I.48, prova o contrário: se num triângulo o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, então o ângulo oposto é reto. É o que justifica a corda dos esticadores: como $3^2+4^2=5^2$, o triângulo 3, 4, 5 é obrigatoriamente retângulo.

A Proposição I.47 na edição colorida de Oliver Byrne (Londres, 1847), que substituiu as letras por cores e formas.
A Proposição I.47 na edição colorida de Oliver Byrne (Londres, 1847), que substituiu as letras por cores e formas.Oliver Byrne, The First Six Books of the Elements of Euclid (1847) · Wikimedia Commons · domínio público
Exercício: uma escada de 5 m está apoiada numa parede, com o pé a 1,4 m da parede. A que altura ela toca a parede?

A escada é a hipotenusa: $h^2+1{,}4^2=5^2$, então $h^2=25-1{,}96=23{,}04$ e $h=4{,}8$ m. Os números são os de um triângulo 7, 24, 25 dividido por 5: $1{,}4=\frac75$, $4{,}8=\frac{24}5$ e $5=\frac{25}5$.

Exercício: mostre que, para quaisquer inteiros m > n > 0, os números m² − n², 2mn e m² + n² formam um triângulo retângulo.
$$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2.$$

Com $m=2$, $n=1$: o triângulo 3, 4, 5. Com $m=3$, $n=2$: 5, 12, 13. Com $m=4$, $n=1$: 15, 8, 17. Euclides prova essa regra no Livro X (lema da Proposição X.29), e ela dá todas as ternas pitagóricas primitivas.

Fontes: Elementos, Proposições I.47 e I.48, edição de D. E. Joyce · Eli Maor, The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History (Princeton, 2007) · Elisha S. Loomis, The Pythagorean Proposition (2.ª ed., 1940).

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