A Exposição do sistema do mundo, de 1796, era um livro para leitores sem formação matemática. Laplace contava ali, em prosa, tudo o que a mecânica celeste tinha descoberto. No fim, numa nota que ele mesmo apresentava “com a desconfiança que deve inspirar tudo o que não é resultado da observação ou do cálculo”, arriscou uma explicação para a origem do Sistema Solar.

Folha de rosto da segunda edição da Exposição do sistema do mundo, de 1798 (ano VII do calendário republicano).
Folha de rosto da segunda edição da Exposição do sistema do mundo, de 1798 (ano VII do calendário republicano).Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · domínio público

Uma coincidência grande demais

Laplace partiu de fatos que todos conheciam. Os planetas então conhecidos giram em torno do Sol no mesmo sentido, em órbitas quase no mesmo plano e quase circulares. Eles também giram em torno de si mesmos no mesmo sentido, e o mesmo vale para os satélites em volta dos planetas. Somando planetas, satélites e rotações, Laplace contou 43 movimentos, todos no mesmo sentido.

Se cada movimento pudesse, por acaso, ir para um lado ou para o outro com chance $\frac{1}{2}$, qual seria a probabilidade de todos concordarem? O primeiro movimento escolhe o sentido; os outros 42 precisam segui-lo:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{42} = \frac{1}{4\,398\,046\,511\,104} \approx \frac{1}{4{,}4 \times 10^{12}}.$$

Laplace escreveu que se podia apostar “mais de quatro mil bilhões contra um” que esse arranjo tinha uma causa comum. É um raciocínio de probabilidade aplicado ao céu, típico dele: em vez de dizer que a coincidência é estranha, ele a mediu.

A nuvem que gira

A causa proposta era esta. No começo, o Sol estaria envolto numa atmosfera enorme e quente, uma nebulosa, que girava lentamente e se estendia para além das órbitas atuais. Ao esfriar, a nuvem se contraía. E, ao se contrair, girava cada vez mais depressa, até que, na borda, a força centrífuga igualava a gravidade e anéis de matéria se desprendiam. Cada anel teria se juntado num planeta, girando no mesmo sentido da nuvem original. Os satélites nasceriam do mesmo modo, a partir das atmosferas dos planetas.

Por que uma nuvem que encolhe gira mais depressa? É a conservação do momento angular, a mesma que faz uma patinadora acelerar ao fechar os braços. Para uma massa $m$ girando a uma distância $r$ do eixo com velocidade angular $\omega$, o momento angular é

$$L = m\,r^2\,\omega.$$

Sem torques externos, $L$ não muda. Se a nuvem encolhe para a metade do raio, $r^2$ fica quatro vezes menor e, para compensar, $\omega$ fica quatro vezes maior:

$$m\,r^2\,\omega = m\left(\frac{r}{2}\right)^2\omega' \quad\Rightarrow\quad \omega' = 4\omega.$$
Exercício: a estrela que encolhe

O Sol tem raio de cerca de $700\,000$ km e gira uma vez a cada 25 dias. Se ele encolhesse, sem perder massa nem momento angular, até um raio de 10 km, como uma estrela de nêutrons, qual seria o novo período de rotação? (Suponha que a forma da distribuição de massa não muda, de modo que $L \propto r^2\omega$.)

O raio diminui por um fator $\frac{700\,000}{10} = 70\,000$, então $\omega$ aumenta por $70\,000^2 = 4{,}9 \times 10^9$. O período diminui na mesma proporção: $25 \text{ dias} = 2\,160\,000$ s, e $\frac{2\,160\,000}{4{,}9 \times 10^9} \approx 4{,}4 \times 10^{-4}$ s. Menos de meio milésimo de segundo: é a ordem de grandeza dos pulsares mais rápidos que se conhecem.

Exercício: menos movimentos

Em 1796 conheciam-se menos satélites do que hoje. Se Laplace tivesse contado apenas os 6 planetas conhecidos antes de 1781 (de Mercúrio a Saturno), com os seus movimentos de translação, qual seria a chance de todos girarem no mesmo sentido por acaso?

O primeiro escolhe o sentido e os outros 5 precisam acompanhá-lo: $\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$, cerca de 3%. Pouco, mas não absurdo. É ao juntar dezenas de movimentos independentes que a coincidência fica inacreditável: cada movimento a mais divide a chance por dois.

Fontes: Pierre-Simon Laplace, Exposition du système du monde (1796; nota VII da edição de 1835) · Stephen G. Brush, Nebulous Earth: The Origin of the Solar System and the Core of the Earth from Laplace to Jeffreys (1996) · Immanuel Kant, Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels (1755) · ALMA Partnership, “The 2014 ALMA Long Baseline Campaign: First Results from High Angular Resolution Observations toward the HL Tau Region”, The Astrophysical Journal Letters 808 (2015).

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