Boole, Frege e Peano: a escrita do raciocínio

Até o século XIX, a notação matemática servia para escrever quantidades e as operações entre elas. Faltava uma escrita para outra coisa, que os matemáticos faziam o tempo todo sem anotar: raciocinar. “Se isto, então aquilo”; “para todo número”; “existe um número tal que”. Tudo isso continuava sendo dito em latim, francês ou alemão, entre uma fórmula e outra. Este texto conta como o próprio raciocínio ganhou sinais.

A álgebra do pensamento

No século XIX, a matemática começou a olhar para dentro: o que é um número? o que é uma prova? Para responder, precisava de uma escrita não só para quantidades, mas para afirmações e para os passos entre elas.

Em 1854, o inglês George Boole publicou As leis do pensamento, em que tratava o raciocínio como álgebra. Se $x$ representa “as coisas que são brancas”, então $x\cdot x$ (as coisas brancas que são brancas) é o próprio $x$. Daí a lei estranha da álgebra de Boole:

que Boole lia como “nada pode ao mesmo tempo ter e não ter uma propriedade”. Um século depois, essa mesma álgebra, com só dois valores, $0$ e $1$, seria a base dos circuitos dos computadores.

Em 1879, o alemão Gottlob Frege foi mais longe. No livro Begriffsschrift (Escrita conceitual), criou uma linguagem completa para a lógica, capaz de exprimir qualquer prova matemática passo a passo. Era um feito extraordinário, mas a escrita era bidimensional: as afirmações se penduravam em traços horizontais e verticais, como galhos de uma árvore deitada. Uma fórmula simples ocupava meia página. Os contemporâneos acharam aquilo ilegível, e quase ninguém leu o livro.

∈, ∃ e ∀

Peano é o responsável por boa parte dos sinais da lógica que usamos. Em 1889, para dizer que um elemento pertence a um conjunto, usou uma letra épsilon, inicial do grego estí, “é”: $3\in\mathbb{N}$ se lê “$3$ é um número natural”. Em 1897, para dizer que existe um elemento com certa propriedade, usou um E virado: $\exists$. O $\forall$, “para todo”, é o mais jovem: o alemão Gerhard Gentzen o criou em 1935, virando um A, de alle, por simetria com o $\exists$.

Com esses sinais, a frase “todo número real tem quadrado maior ou igual a zero” vira

Parece só uma abreviação, mas a escrita torna visível uma coisa que a linguagem comum esconde: a ordem dos quantificadores. Compare:

A primeira diz que, para cada número, existe outro maior que ele, o que é verdade. A segunda diz que existe um número maior do que todos os números, o que é falso. Em português, as duas cabem na frase ambígua “sempre há um número maior”. Na escrita lógica, a diferença está na posição dos sinais e salta aos olhos.

O que o capítulo mostrou

Do zero indiano aos quantificadores de Gentzen, cada mudança importante na escrita matemática abriu um caminho novo. O sistema posicional transformou a conta numa tarefa de papel; as letras de Viète transformaram a receita num objeto; o logaritmo de Napier trocou multiplicações por somas; o $d$ de Leibniz fez a regra da cadeia se escrever sozinha; o $f(x)$ de Euler deu nome às funções; a tabuada de Galois e Cayley transformou movimentos em símbolos, e as matrizes trataram um sistema como uma coisa só; os vetores de Gibbs e Heaviside reduziram as equações de Maxwell a quatro linhas; os quantificadores deixaram à vista a estrutura de uma afirmação.

Nem toda escrita nova vingou. Os numerais romanos para contas, os pontos de Newton fora da física, as cores de Byrne e a árvore de Frege são escritas que registravam bem, mas não convidavam a ir adiante. A história da notação é também a história dessas escolhas: uma comunidade testa os sinais, fica com os que trabalham e esquece os outros. No próximo capítulo, vamos olhar para um sinal isolado e perguntar o que, exatamente, faz dele um signo.

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