Verificaremos que as funções circulares dos reais $x = \dfrac{\pi}{n}$, com $n \in \mathbb{N}$ e $n \ge 3$, podem ser calculadas a partir de $\ell_n$, o lado do polígono regular de $n$ lados inscrito no ciclo.

A história

No livro I do Almagesto, Ptolomeu construiu a sua tábua de cordas exatamente assim: partiu dos lados dos polígonos regulares inscritos — triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e decágono —, que a geometria de Euclides sabia calcular, e obteve os outros arcos por meio de fórmulas de soma, diferença e metade de arcos, que veremos no capítulo VI. A corda de um arco $2\alpha$ num círculo de raio $R$ é $2R\operatorname{sen}\alpha$: o teorema deste capítulo é a tradução moderna dessa ideia.

Cláudio Ptolomeu (c. 100–170), representação artística posterior, com uma esfera armilar.
Cláudio Ptolomeu (c. 100–170), representação artística posterior, com uma esfera armilar.Justus van Gent ou Pedro Berruguete · Wikimedia Commons · Domínio público
A corda $AB$ do arco $2\alpha$ é cortada ao meio pelo raio $OM$: cada metade mede $R\operatorname{sen}\alpha$, então $\text{crd}\,2\alpha = 2R\operatorname{sen}\alpha$. As tábuas de Ptolomeu davam a corda; as indianas, a meia-corda.

Fontes: Ptolomeu (MacTutor) · Euclides, Elementos, livro IV.

No dia a dia

  • Esquadros. Os dois esquadros do estojo escolar são os triângulos deste capítulo: um de $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ e outro de $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$.
  • Porcas e parafusos. A cabeça sextavada é um hexágono regular: a distância entre duas faces paralelas, que define o tamanho da chave, é $\ell\sqrt{3}$ para um lado $\ell$.
  • Telhados. Inclinações de $30^\circ$ e $45^\circ$ são comuns. Num telhado de $30^\circ$ com meia largura de 4 m, a cumeeira fica $4\operatorname{tg} 30^\circ \approx 2{,}31$ m acima do apoio.
Os ângulos notáveis no estojo e na caixa de ferramentas: os dois esquadros escolares e a porca sextavada, um hexágono regular.

Teoria

Teorema

TeoremaO seno de π/n

Para todo $n \in \mathbb{N}$ com $n \ge 3$,

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n} = \frac{\ell_n}{2}.$$
Mude o número de lados. O lado vermelho $\overline{P'P}$ do polígono inscrito mede o dobro de $\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}$.
Ver a demonstração

Sejam $P$ e $P'$ pontos do ciclo com $A\hat OP = A\hat OP' = \dfrac{\pi}{n}$, um de cada lado do eixo dos cossenos. Como $P'\hat OP = \dfrac{2\pi}{n}$, a corda $\overline{P'P}$ é lado do polígono regular de $n$ lados inscrito: $P'P = \ell_n$.

No triângulo isósceles $P'OP$ ($OP = OP' = 1$), o eixo dos cossenos é bissetriz do ângulo em $O$ e, portanto, também altura e mediana: $\overline{P'P} \perp u$ e $P_2$ é o ponto médio de $\overline{P'P}$. Então

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n} = \overline{P_2P} = \frac{\ell_n}{2}.$$

Aplicações: n = 3, 4 e 6

Os casos mais comuns são aqueles em que $n = 3$, $4$ e $6$. No ciclo, $R = 1$.

PropriedadeValores em π/3

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo destacado, formado pelo lado $\ell_3$ do triângulo equilátero, pelo lado $\ell_6$ do hexágono e por um diâmetro (o triângulo é retângulo, pois está inscrito numa semicircunferência):

$$\ell_3^2 + \ell_6^2 = (2R)^2 \;\Longrightarrow\; \ell_3^2 + R^2 = 4R^2 \;\Longrightarrow\; \ell_3^2 = 3R^2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\ell_3 = R\sqrt{3}}$$

Logo, com $R = 1$:

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\ell_3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{3} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.$$
Triângulo equilátero e hexágono regular inscritos: o triângulo destacado tem catetos $\ell_3$ e $\ell_6$ e hipotenusa $2R$.

PropriedadeValores em π/4

No quadrado inscrito, dois lados consecutivos e um diâmetro formam um triângulo retângulo isósceles:

$$\ell_4^2 + \ell_4^2 = (2R)^2 \;\Longrightarrow\; 2\ell_4^2 = 4R^2 \;\Longrightarrow\; \ell_4^2 = 2R^2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\ell_4 = R\sqrt{2}}$$

Então

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{4} = \frac{\ell_4}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1.$$

PropriedadeValores em π/6

Sendo $PQ = \ell_6$ o lado do hexágono regular inscrito, o triângulo $OPQ$ é equilátero (os ângulos são de $60^\circ$), e então $\boxed{\ell_6 = R}$. Temos:

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Tabela dos arcos notáveis

ResumoValores exatos

$\frac{\pi}{6} = 30^\circ$ $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$ $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$
seno $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
cosseno $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$
tangente $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$

Um jeito de lembrar: os senos de $30^\circ$, $45^\circ$ e $60^\circ$ são $\frac{\sqrt{1}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$; os cossenos são os mesmos, na ordem inversa.

Com as reduções do capítulo IV, esses três valores dão os de todos os arcos marcados no ciclo acima: por exemplo, $\operatorname{sen}\frac{5\pi}{6} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ e $\cos\frac{5\pi}{4} = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Os exercícios deste capítulo estão na lista do capítulo.