Euler's Eyes
2022-11-01
Família de Conjuntos
Em teoria de conjuntos, é importante trabalharmos com noção de família ou coleção indexada de conjuntos. Em teoria de processos estocásticos, por exemplo, este conceito é muito usado, principalmente para teoria de Filtragens em sigma-álgebras.
Coleção indexada
Definição (Família indexada de conjuntos) Seja $\Gamma$ um conjunto, assumimos que para cada elemento $\gamma \in \Gamma$ está associado um conjunto $A_{\gamma}.$ A coleção de tais conjuntos $A_{\gamma}$ é dita ser uma família indexada de conjuntos, indexada pelo conjunto $\Gamma$ e denotada por
$$\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma \\}$$
Se $\mathcal{C} = \\{ A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma \\},$ escrevemos
$$\bigcup \mathcal{C} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \\{x; x \in A_{\gamma} \text{ para algum } \gamma \in \Gamma \\}$$e
$$\bigcap \mathcal{C} =\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \\{x; x \in A_{\gamma} \text{ para todo } \gamma \in \Gamma \\}.$$Observe que dada qualquer coleção de conjuntos, sempre é possível obter um conjunto de índices $\Gamma$ e tornar esta coleção uma família indexada de conjuntos, indexada por $\Gamma$.
Conjunto de índices finitos
Em conjuntos de índice finitos, por exemplo, $\Gamma = \\{1,2,3,\dots, n\\}$ temos que:
- União de conjuntos: $$\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcup^n_{i=1} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$$
- Intersecção de conjuntos: $$\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcap^n_{i=1} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n$$
Conjunto de índices enumeráveis
Se o conjunto for enumerável, por exemplo, $\Gamma = \mathbb{N}$ temos que
- União de conjuntos: $$\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcup^\infty_{i=1} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \dots$$
- Intersecção de conjuntos: $$\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcap^\infty_{i=1} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots $$
Resultado para família vazia de subconjuntos
Teorema: Seja $\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ uma família vazia de subconjuntos de um conjunto $U,$ ou seja, $\Gamma = \emptyset.$ Então
- (a) $\displaystyle\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \emptyset.$
- (b) $\displaystyle\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = U.$
Demonstração:
(a) Note que mostrar que $\displaystyle\bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} = \emptyset$ é equivalente a mostrar que para todo $x \in U,$ temos $x \notin \displaystyle\bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma}.$
Para $x ∈ U,$ temos que por notação:
$$x \notin \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \Longleftrightarrow \sim \left(x \in \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \right) $$Por definição de união temos que:
$$\sim\left(x \in \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \right) \Longleftrightarrow \sim\left(x \in A_{\gamma}, \text{ para algum } \gamma \in \emptyset \right)$$Agora vamos aplicar a negação:
$$\sim\left(x \in A_{\gamma}, \text{ para algum } \gamma \in \emptyset \right) \Longleftrightarrow x \notin A_{\gamma}, \text{ para todo } \gamma \in \emptyset $$Daí temos que $\gamma \in \emptyset$ implica que:
$$ x \notin A_{\gamma}$$e esta última proposição é verdade para todo $x \in U,$ pois $γ \in \emptyset$ é uma contradição. Isso completa a demonstração da parte (a).
(b) Este item, temos que mostrar que para todo $x \in U,$ temos
$$x \in \bigcap_{γ\in \emptyset} A_\gamma.$$Observe que por definição
$$x \in \bigcap_{\gamma\in \emptyset} A_{\gamma} \Longleftrightarrow \\{x \in A_{\gamma}, \text{ para todo } \gamma \in \emptyset\\} $$que é equivalente a proposição $γ \in \emptyset$ implica $x \in A_{\gamma},$ que como visto na demonstração do item (a), é verdadeira para todo $x \in U.$
$\square$
Leis de Morgan Generalizadas
Teorema (Leis de Morgan Generalizadas) Seja $\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ uma família arbitrária de subconjuntos de um conjunto $U.$ Então
- (a) $\displaystyle\left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} A_\gamma\right)^c = \bigcap_{γ\in \Gamma} A^c_\gamma$
- (b) $\displaystyle\left(\bigcap_{\gamma\in \Gamma} A_\gamma\right)^c = \bigcup_{γ\in \Gamma} A^c_\gamma$
Demonstração:
a) Para todo $x \in U,$ temos que pela definição de complementar
$$x \in \left(\bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right)^c \Longleftrightarrow \sim \left(x \in \bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right)$$Pela definição de união temos:
$$\sim \left(x \in \bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right) \Longleftrightarrow \sim (\text{existe } \gamma \in \Gamma \text{ tal que } x \in A_{\gamma})$$Ao negarmos a última sentença obtemos que para todo $\gamma \in \Gamma$ temos que $x \notin A_{\gamma}$.
O próximo passo é aplicarmos a definição de complementar e obtemos $\gamma \in \Gamma$ temos que $x \in A^c_{\gamma}$.
Pela definição de intersecção
$$x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A^c_{\gamma}$$Portanto, por definição de igualdade de conjuntos temos a igualdade do item (a).
A demonstração da igualdade do item (b) fica como exercício. 😂😂😂
$\square$
Leis Distributivas Generalizadas
Teorema (Leis Distributivas Generalizadas) Seja $A$ um conjunto e $\mathcal{C} = \\{B_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ uma família de subconjuntos. Então
- (a) $\displaystyle A \cap \left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right) = \bigcup_{\gamma\in \Gamma} A \cap B_\gamma$
- (b) $\displaystyle A \cup \left(\bigcap_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right) = \bigcap_{\gamma\in \Gamma} A \cup B_\gamma$
Demonstração:
(a) Um elemento $x$ está no conjunto $\displaystyle A \cap \left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right)$ se, e somente se $x \in A$ e $x \in \bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma$ pela definição de intersecção.
Agora da definição de união de uma família qualquer de conjuntos, temos que esta proposição é equivalente a $x \in A$ e $x \in B_\gamma,$ para algum $γ \in \Gamma,$ que pode ser expressa como $x \in A \cap B_\gamma,$ para algum $γ \in \Gamma.$
Por definição de união
$$x \in \bigcup_{\gamma\in \Gamma} A \cap B_\gamma,$$o que mostra (a) pela definição de igualdade de conjunto.
A demonstração da igualdade do item (b) fica como exercício. 😂😂😂
$\square$
Este é o resumo de família de conjuntos. Aguardem os próximos posts.