Euler's Eyes
2026-10-11
Propriedades dos paralelogramos
Lados opostos iguais, ângulos opostos iguais, diagonais que se cortam ao meio. O paralelogramo é a figura das forças e dos mecanismos articulados.
Quem descobriu
As primeiras propriedades estão na proposição I.34 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): num paralelogramo, os lados e os ângulos opostos são iguais, e a diagonal o divide em duas partes de mesma área. Fora da geometria, o paralelogramo ganhou fama com a regra do paralelogramo das forças, usada pelo flamengo Simon Stevin (1586) e enunciada por Isaac Newton nos Principia (1687): duas forças que agem num ponto equivalem à diagonal do paralelogramo formado por elas.
A história
A prova de Euclides traça uma diagonal e compara os dois triângulos formados, usando ângulos alternos entre paralelas e o caso ALA. É o mesmo roteiro que este tópico segue.
O pantógrafo, inventado por Christoph Scheiner por volta de 1603, usa barras articuladas formando paralelogramos para copiar desenhos em outra escala: quando o paralelogramo se deforma, os lados opostos continuam paralelos. O mesmo princípio está em luminárias articuladas e em mecanismos de máquinas.
No dia a dia
- Forças e vetores. Para saber o efeito de dois rebocadores puxando um navio, soma-se as forças pela regra do paralelogramo.
- Luminária de mesa. As barras articuladas formam paralelogramos, por isso a lâmpada mantém sempre a mesma inclinação.
- Tesoura de carro (macaco). O macaco sanfonado é um losango articulado; ao girar o parafuso, ele levanta o carro.
- Estacionamento em diagonal. As vagas inclinadas são paralelogramos.
Fontes: Elementos, proposição I.34 · Stevin (MacTutor) · Scheiner (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaÂngulos opostos
a) Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos quaisquer são congruentes (e dois consecutivos são suplementares).
b) Recíproca: todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos congruentes é paralelogramo.
TeoremaLados opostos
a) Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.
b) Recíproca: todo quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é paralelogramo.
TeoremaDiagonais
a) Em todo paralelogramo, as diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios.
b) Recíproca: todo quadrilátero convexo em que as diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios é paralelogramo. Ou seja: se dois segmentos se cortam ao meio, suas extremidades são vértices de um paralelogramo.
TeoremaDois lados paralelos e congruentes
Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo.
Ver as demonstrações
Ângulos opostos. Com $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, $\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ}$; com $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$, $\hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$. Logo $\hat{A} \equiv \hat{C}$; analogamente, $\hat{B} \equiv \hat{D}$. Na recíproca, $\hat{A} = \hat{C}$ e $\hat{B} = \hat{D}$ com soma $360^{\circ}$ dão $\hat{A} + \hat{B} = \hat{A} + \hat{D} = 180^{\circ}$, e os colaterais suplementares dão os paralelismos.
Lados opostos. Com $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$, $B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$ (alternos). Com $\overline{AC}$ comum e $\hat{B} \equiv \hat{D}$, por LAAₒ, $\triangle ABC \equiv \triangle CDA$, logo $AB = CD$ e $BC = DA$. Na recíproca, por LLL, $\triangle ABC \equiv \triangle CDA$, e os ângulos alternos congruentes dão os paralelismos.
Diagonais. $AB = CD$ e os alternos $B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$, $A\hat{B}D \equiv C\hat{D}B$ dão, por ALA, $\triangle ABM \equiv \triangle CDM$: $AM = CM$ e $BM = DM$. Na recíproca, LAL ($AM = CM$, o.p.v., $BM = DM$) dá $\triangle ABM \equiv \triangle CDM$ e, daí, $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$; analogamente $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.
Lados paralelos e congruentes. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ dá $B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$; com $AB = CD$ e $\overline{AC}$ comum, por LAL, $BC = AD$ — e então vale a recíproca dos lados opostos.
