Você tem 24 metros de cerca e quer cercar um terreno retangular com a maior área possível. Que medidas escolher? Um retângulo comprido e fino desperdiça cerca; um quadrado parece melhor. Mas como provar?

Fermat inventou um método para responder perguntas assim por volta de 1636, mais de trinta anos antes de Newton e quase cinquenta antes de Leibniz publicar o cálculo.

O problema de Fermat

O primeiro exemplo de Fermat era exatamente esse: dividir um segmento de comprimento $b$ em duas partes, $x$ e $b-x$, de modo que o produto $x(b-x)$ seja o maior possível. É o nosso terreno: com 24 m de cerca, a soma de dois lados vizinhos é $12$, e a área é

$$A(x)=x(12-x)=12x-x^2,\qquad0

Mude um lado: o outro se ajusta para manter o perímetro 24. A área cresce até o quadrado e depois diminui.

A ideia da adequação

Fermat observou algo simples: perto do máximo, a função quase não muda. No topo de uma montanha, um passo para o lado quase não altera a altura. Longe do topo, um passo muda bastante.

Então ele comparava o valor em $x$ com o valor num ponto vizinho, $x+e$, onde $e$ é uma quantidade pequena. No máximo, os dois deveriam ser “quase iguais”. Fermat chamou essa quase igualdade de adaequatio, adequação, uma palavra que tirou de Diofanto.

Vamos seguir os passos dele:

  1. Igualar os vizinhos. Fazemos $A(x+e)\approx A(x)$: $$12(x+e)-(x+e)^2\approx12x-x^2.$$
  2. Simplificar. Desenvolvendo e cancelando o que aparece dos dois lados: $$12e-2xe-e^2\approx0.$$
  3. Dividir por $e$: $$12-2x-e\approx0.$$
  4. Eliminar $e$. Agora que não há mais divisão, Fermat simplesmente apagava o $e$ que sobrou: $$12-2x=0\quad\Longrightarrow\quad x=6.$$

O melhor terreno é o quadrado de lado 6, com área 36 m².

Repare que a expressão do passo 3, depois de apagar o $e$, é exatamente o que hoje chamamos de derivada: $A'(x)=12-2x$. O máximo está onde a derivada se anula. Fermat fazia cálculo diferencial sem ter o nome.

Uma prova sem cálculo

O método de Fermat acha o candidato a máximo. Para provar que é mesmo o máximo, há um truque algébrico: completar o quadrado.

$$A(x)=12x-x^2=36-(x-6)^2.$$

Um quadrado nunca é negativo, então $(x-6)^2\ge0$ e $A(x)\le36$. A igualdade só acontece em $x=6$. Nenhum outro retângulo com 24 m de perímetro tem área maior.

A caixa de volume máximo

O método serve também para problemas mais difíceis que o do terreno. Uma fábrica tem chapas de aço quadradas, de 6 m de lado, e quer fazer caixas sem tampa: corta um quadrado de lado $x$ em cada canto e dobra as abas para cima. O fundo fica com lado $6-2x$, a altura é $x$, e o volume é

$$V(x)=(6-2x)^2x=4x^3-24x^2+36x,\qquad0Se $x$ é muito pequeno, a caixa fica rasa; se é grande, o fundo encolhe. Pela adequação, igualamos $V(x+e)\approx V(x)$, cancelamos o que aparece dos dois lados, dividimos por $e$ e apagamos os termos em que $e$ sobrou. Fica

$$12x^2-48x+36=0\quad\Longrightarrow\quad x^2-4x+3=0\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{ou}\ x=3.$$

Com $x=3$ não sobra fundo nenhum, e o volume é zero. O máximo é em $x=1$: uma caixa de fundo $4\times4$ e altura 1, com volume de $16$ m³. Para comparar, com $x=0{,}5$ o volume é $12{,}5$ m³, e com $x=1{,}5$ é $13{,}5$ m³.

A briga com Descartes

Fermat usou o mesmo método para achar tangentes a curvas. Quando o método chegou a Descartes, em 1638, ele o atacou: disse que era confuso e que só funcionava por sorte. Fermat respondeu com calma, e os dois trocaram cartas cada vez mais ásperas. No fim, Descartes admitiu, a contragosto, que o método funcionava. Ele simplesmente não entendia por quê, já que Fermat não explicava.

O passo mais delicado é o 4: dividir por $e$ supondo $e\neq0$ e, depois, apagá-lo como se fosse zero. É o mesmo problema que Newton teria com seu $o$ e Leibniz com seu $dx$. Só no século XIX, com a ideia de limite, o passo ficou rigoroso.

Fermat nunca publicou o método. O texto, Método para achar o máximo e o mínimo, circulou em cópias manuscritas enviadas a Mersenne por volta de 1636 e foi passando de mão em mão entre os matemáticos de Paris. Só foi impresso em 1679, na Varia opera mathematica organizada pelo filho Samuel, e ganhou uma edição completa no fim do século XIX, nas Obras de Fermat, de Paul Tannery e Charles Henry.

Exercício: qual é a maior área para um perímetro de 40?

Os lados são $x$ e $20-x$. A área é $20x-x^2=100-(x-10)^2$, no máximo 100, para o quadrado de lado 10.

Exercício: um terreno fica encostado num muro, e só três lados precisam de cerca. Com 24 m de cerca, qual a maior área?

Se os dois lados perpendiculares ao muro medem $x$, o lado paralelo mede $24-2x$. A área é $A=x(24-2x)=24x-2x^2$. Pela adequação: $24-4x=0$, logo $x=6$. O terreno tem $6\times12$ e área 72 m². Agora o melhor não é um quadrado.

Fontes: biografia de Fermat, MacTutor.

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