Fonte: INEP – prova e gabarito do 2º dia, Caderno 5 – Amarelo.

A prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM 2025 foi aplicada no 2º dia e vai da questão 136 à 180. Este post traz as questões 166 a 180. A numeração usada aqui é a do Caderno 5 – Amarelo; nos outros cadernos as mesmas questões aparecem em outra ordem.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
166 Unidades de volume D
167 Produção agrícola e gráfico de linhas A
168 Volume: cilindro menos prisma B
169 Probabilidade com dados E
170 Unidades de medida A
171 Sequências: expressão do termo geral D
172 Leitura de gráfico e custo de combustível D
173 Comparação de custos E
174 Volume do paralelepípedo B
175 Geometria espacial: cilindro em prisma E
176 Logaritmo e função quadrática A
177 Área do semicírculo A
178 Equação: parcelas de um financiamento Anulada
179 Análise combinatória: combinações C
180 Velocidade média C

Questão 166: Taças de sorvete (unidades de volume)

Enunciado

O dono de uma sorveteria armazena sorvete em potes de 20 000 cm³. Ele serve o sorvete em taças, em porções de 250 mL.

A quantidade de taças que ele consegue servir a partir de um pote cheio de sorvete é

  • A) 5.
  • B) 8.
  • C) 50.
  • D) 80.
  • E) 800.

Resolução

1. Mesma unidade. $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$, então o pote tem 20 000 mL.

2. Número de taças.

$$\frac{20\thinspace 000}{250} = 80$$

Resposta: alternativa D (80).

Cuidado com a pegadinha: quem acha que $1 \text{ cm}^3 = 10 \text{ mL}$ ou $1 \text{ L} = 100 \text{ mL}$ erra por um fator de 10 e cai em 8 ou 800 (alternativas B e E).

Para revisar, veja Medir.

Voltar ao gabarito

Questão 167: Produção de soja em cinco safras (gráfico de linhas)

Enunciado

A produtividade de soja em uma área cultivada é a média da quantidade de sacas de 50 quilogramas que são produzidas por hectare. O quadro apresenta a área cultivada e a produtividade de soja em certa propriedade, ao longo de cinco safras, com períodos de um ano, de 2011 a 2016.

Safra 11-12 12-13 13-14 14-15 15-16
Área cultivada (hectare) 200 220 250 250 200
Produtividade (sacas de 50 kg por hectare) 40 30 45 45 50

O gráfico de linhas que representa a produção de soja dessa propriedade, em tonelada, nessas cinco safras é

Resolução

Produção = área × produtividade × 50 kg. Como $1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$, cada saca vale $0{,}05$ t.

Safra Sacas Toneladas
11-12 $200 \cdot 40 = 8\thinspace 000$ $8\thinspace 000 \cdot 0{,}05 = 400$
12-13 $220 \cdot 30 = 6\thinspace 600$ $330$
13-14 $250 \cdot 45 = 11\thinspace 250$ $562{,}5$
14-15 $250 \cdot 45 = 11\thinspace 250$ $562{,}5$
15-16 $200 \cdot 50 = 10\thinspace 000$ $500$

Os valores 400; 330; 562,5; 562,5; 500 são os do gráfico A.

Resposta: alternativa A.

Cuidado com a pegadinha: os gráficos B e C mostram só a produtividade e só a área, respectivamente. O gráfico E tem a forma certa, mas valores 50 vezes menores: é a produção em milhares de sacas, sem multiplicar por 50 kg.

Voltar ao gabarito

Questão 168: Ouro para as medalhas (volume do cilindro menos o prisma)

Enunciado

A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm.

A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.

Considere 3,1 como valor aproximado para $\pi$.

Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?

  • A) 288
  • B) 297
  • C) 567
  • D) 990
  • E) 1 134

Resolução

Tudo em centímetros: raio $r = 3$ cm e espessura $h = 3 \text{ mm} = 0{,}3$ cm.

1. Área do círculo.

$$\pi r^2 = 3{,}1 \cdot 9 = 27{,}9 \text{ cm}^2$$

2. Área do quadrado. O quadrado está inscrito no círculo, então sua diagonal é o diâmetro, 6 cm. A área de um quadrado de diagonal $d$ é $\frac{d^2}{2}$:

$$\frac{6^2}{2} = 18 \text{ cm}^2$$

3. Volume de ouro de uma medalha. A parte de ouro é a área entre o círculo e o quadrado vezes a espessura:

$$(27{,}9 - 18) \cdot 0{,}3 = 9{,}9 \cdot 0{,}3 = 2{,}97 \text{ cm}^3$$

4. Cem medalhas.

$$100 \cdot 2{,}97 = 297 \text{ cm}^3$$

Resposta: alternativa B (297).

Cuidado com a pegadinha: usar a espessura como 3 cm em vez de 0,3 cm multiplica o resultado por 10 (990, alternativa D).

Para revisar, veja Área do Círculo.

Voltar ao gabarito

Questão 169: Artur com dois dados contra João com um (probabilidade)

Enunciado

Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.

O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é

  • A) Artur, com probabilidade de $\dfrac{2}{3}$
  • B) João, com probabilidade de $\dfrac{4}{9}$
  • C) Artur, com probabilidade de $\dfrac{91}{216}$
  • D) João, com probabilidade de $\dfrac{91}{216}$
  • E) Artur, com probabilidade de $\dfrac{125}{216}$

Resolução

São $6^3 = 216$ resultados igualmente prováveis. Vamos contar quando João vence (fica mais fácil), ou seja, quando o maior número de Artur é menor ou igual ao de João.

1. Fixando o número $j$ de João. O maior dos dois dados de Artur é $\le j$ exatamente quando os dois dados de Artur são $\le j$. Isso acontece em $j \cdot j = j^2$ dos 36 resultados de Artur.

2. Somando para $j = 1, \dots, 6$:

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$$

Então João vence em 91 dos 216 resultados: $P(\text{João}) = \frac{91}{216}$.

3. Artur vence no resto:

$$P(\text{Artur}) = 1 - \frac{91}{216} = \frac{125}{216} \approx 58\%$$

Como $\frac{125}{216} > \frac{1}{2}$, Artur tem mais chance.

Resposta: alternativa E (Artur, com $\frac{125}{216}$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D traz a probabilidade correta de João, mas ele não é o favorito. O empate a favor de João não compensa a vantagem de Artur lançar dois dados.

Para revisar, veja Eventos Equiprováveis.

Voltar ao gabarito

Questão 170: Unidade de medida da luminância

Enunciado

A luminância de um objeto é a grandeza que descreve a quantidade de luz produzida ou refletida por sua superfície. Ela está definida como a razão entre a intensidade luminosa, medida em candela (cd), e o quadrado da distância do objeto até o foco de luz, medida em metro (m).

A unidade de medida da luminância de um objeto é

  • A) $\dfrac{\text{cd}}{\text{m}^2}$
  • B) $\dfrac{\text{m}^2}{\text{cd}}$
  • C) $\dfrac{\text{cd}}{\text{m}}$
  • D) $\dfrac{\text{m}}{\text{cd}}$
  • E) $\dfrac{\text{m}}{\text{cd}^2}$

Resolução

A luminância é

$$L = \frac{\text{intensidade luminosa}}{(\text{distância})^2}$$

A unidade segue a mesma conta: candela no numerador, metro ao quadrado no denominador:

$$\frac{\text{cd}}{\text{m}^2}$$

Resposta: alternativa A (cd/m²).

Cuidado com a pegadinha: “razão entre A e B” é $\frac{A}{B}$, nessa ordem. Inverter dá a alternativa B.

Voltar ao gabarito

Questão 171: Moedas passando em roda (sequência)

Enunciado

Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada um assume uma das quatro posições, 1, 2, 3 ou 4, indicadas na figura, e nela permanece até o final.

O desenvolvimento do jogo se dá em rodadas e, em todas elas, cada jogador transfere e recebe uma quantidade de moedas, da seguinte maneira:

  • o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2;
  • o jogador na posição 2 transfere 2 moedas para o jogador na posição 3;
  • o jogador na posição 3 transfere 3 moedas para o jogador na posição 4;
  • o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1, completando a rodada.

Ao final da rodada $n$, qual é a expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1?

  • A) $103 + 4n$
  • B) $103 + 3n$
  • C) $100 + 4n$
  • D) $100 + 3n$
  • E) $99 + 4n$

Resolução

1. Saldo de uma rodada para o jogador 1. Ele dá 1 moeda (para o jogador 2) e recebe 4 (do jogador 4):

$$-1 + 4 = +3 \text{ moedas por rodada}$$

2. Depois de $n$ rodadas. Ele começa com 100 e ganha 3 por rodada completa:

$$M(n) = 100 + 3n$$

Conferindo com $n = 1$: $100 - 1 + 4 = 103 = 100 + 3 \cdot 1$. Certo.

Resposta: alternativa D ($100 + 3n$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B ($103 + 3n$) usa o valor após a 1ª rodada como ponto de partida, contando essa rodada duas vezes. E as alternativas com $4n$ esquecem que o jogador 1 também dá 1 moeda por rodada.

Para revisar, veja Progressão Aritmética.

Voltar ao gabarito

Questão 172: Viagem com carro bicombustível (gráficos e custo)

Enunciado

Uma pessoa tem um carro bicombustível, que funciona a gás natural veicular (GNV) e a gasolina. O rendimento do carro, medido em km/m³, no caso do gás, ou medido em km/L, no caso da gasolina, depende, entre outros fatores, da velocidade, em km/h, em que o carro trafega. Essa relação está em conformidade com estes gráficos.

Durante um feriado, essa pessoa realizou uma viagem de 240 km. Para obter uma estimativa de gasto de combustível, assuma que em todo o trajeto se manteve uma velocidade constante de 60 km/h. Considere que, durante metade do caminho, foi utilizado apenas GNV e, na outra metade, apenas gasolina. O que foi pago pelo metro cúbico de GNV e pelo litro de gasolina correspondeu, respectivamente, a R$ 2,00 e a R$ 3,00.

Qual foi a diferença, em real, entre os gastos totais com gasolina e com GNV?

  • A) 4
  • B) 8
  • C) 14
  • D) 21
  • E) 30

Resolução

1. Rendimentos a 60 km/h (lidos nos gráficos). GNV: 10 km/m³. Gasolina: 8 km/L.

2. Distância com cada combustível. Metade de 240 km: 120 km cada.

3. Gasto com GNV.

$$\frac{120}{10} = 12 \text{ m}^3 \quad\Rightarrow\quad 12 \cdot 2{,}00 = 24 \text{ reais}$$

4. Gasto com gasolina.

$$\frac{120}{8} = 15 \text{ L} \quad\Rightarrow\quad 15 \cdot 3{,}00 = 45 \text{ reais}$$

5. Diferença.

$$45 - 24 = 21 \text{ reais}$$

Resposta: alternativa D (21).

Cuidado com a pegadinha: usar os 240 km inteiros para cada combustível dobra a diferença (42, que não é alternativa). E é preciso ler os dois gráficos no ponto 60 km/h, não no pico da curva.

Voltar ao gabarito

Questão 173: Autoescola mais barata

Enunciado

Em um país, a primeira etapa para obtenção da carteira de motorista é a contratação de três produtos:

  • pacote com 20 aulas teóricas;
  • pacote com 10 aulas práticas;
  • aluguel do veículo para realização das aulas práticas.

Uma pessoa que pretende obter a carteira de motorista pesquisou o valor do aluguel do veículo e os valores de cada aula teórica e de cada aula prática em três autoescolas. O quadro apresenta esses valores.

Autoescola Valor de cada aula teórica (R$) Valor de cada aula prática (R$) Aluguel do veículo (R$)
I 10 80 400
II 30 50 200
III 20 40 400

Ela contratará os três produtos numa mesma autoescola de modo que o custo total nessa primeira etapa seja o menor possível.

A autoescola que será contratada é a

  • A) I, com o custo total de R$ 1 400,00.
  • B) II, com o custo total de R$ 280,00.
  • C) II, com o custo total de R$ 1 300,00.
  • D) III, com o custo total de R$ 460,00.
  • E) III, com o custo total de R$ 1 200,00.

Resolução

Custo total = 20 × (aula teórica) + 10 × (aula prática) + aluguel.

Autoescola Teóricas Práticas Aluguel Total
I $20 \cdot 10 = 200$ $10 \cdot 80 = 800$ 400 1 400
II $20 \cdot 30 = 600$ $10 \cdot 50 = 500$ 200 1 300
III $20 \cdot 20 = 400$ $10 \cdot 40 = 400$ 400 1 200

O menor custo é o da autoescola III, R$ 1 200,00.

Resposta: alternativa E (III, com R$ 1 200,00).

Cuidado com a pegadinha: as alternativas B (R$ 280,00) e D (R$ 460,00) somam os valores de uma aula teórica, uma prática e o aluguel, sem multiplicar pelas quantidades dos pacotes.

Voltar ao gabarito

Questão 174: Garrafas na caixa de descarga (volume)

Enunciado

Uma caixa de descarga, acoplada a um vaso sanitário, tem a forma de paralelepípedo reto retângulo cujas dimensões internas da base são 2,5 dm e 1,5 dm. Nessa caixa há uma boia que interrompe o abastecimento quando a altura da coluna de água atinge 2 dm, conforme a figura.

A cada acionamento da descarga, todo o volume de água contida na caixa é despejado no vaso. Para reduzir o volume de água despejado a cada acionamento, uma pessoa colocará, no interior dessa caixa, garrafas de 300 mL, cheias de areia e tampadas, de modo a ficarem submersas quando o abastecimento for interrompido.

Para garantir o funcionamento eficiente, o mínimo de água despejada a cada acionamento deve ser de 5 L.

A quantidade máxima de garrafas que serão colocadas nessa caixa, garantindo um funcionamento eficiente, é igual a

  • A) 10.
  • B) 8.
  • C) 4.
  • D) 3.
  • E) 2.

Resolução

1. Volume de água sem garrafas. Até a altura de 2 dm:

$$2{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 2 = 7{,}5 \text{ dm}^3 = 7{,}5 \text{ L}$$

2. Efeito das garrafas. A boia continua desligando a água na altura de 2 dm. Cada garrafa submersa ocupa 300 mL = 0,3 L desse espaço, que deixa de ter água. Com $n$ garrafas, a água despejada é

$$7{,}5 - 0{,}3n$$

3. Condição de funcionamento eficiente.

$$7{,}5 - 0{,}3n \ge 5 \quad\Rightarrow\quad 0{,}3n \le 2{,}5 \quad\Rightarrow\quad n \le 8{,}33\ldots$$

Como $n$ é inteiro, no máximo 8 garrafas (com 8, sobram $7{,}5 - 2{,}4 = 5{,}1$ L; com 9, só $4{,}8$ L).

Resposta: alternativa B (8).

Cuidado com a pegadinha: arredondar 8,33 para cima (9) deixaria menos de 5 L por descarga. Lembre também que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$.

Voltar ao gabarito

Questão 175: Caixas para as tortas (cilindro dentro de prisma)

Enunciado

Um confeiteiro passou a produzir tortas em formato de cilindro circular reto, com raio da base variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Essas tortas deverão ser embaladas em caixas com formato de prisma reto de base quadrada, de modo que seja possível acomodar a torta em seu interior e ainda restar pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies internas da caixa, lateral e superior. Ele dispõe, originalmente, de caixas no formato pretendido, cujas dimensões internas são 14 cm de comprimento do lado da base e 7 cm de altura, que não atendem às suas necessidades. Portanto, ele comprará novas caixas, com o mesmo formato das caixas originais, mas com comprimento do lado da base maior, que sejam adequadas para embalar todos os tipos de torta que produz.

A aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, quantos centímetros maior do que a das caixas originais?

  • A) 4
  • B) 12
  • C) 16
  • D) 18
  • E) 20

Resolução

1. A maior torta manda. A caixa precisa servir para todas as tortas; a maior tem raio 16 cm, ou seja, diâmetro 32 cm.

2. Lado mínimo da base. Visto de cima, o círculo da torta fica dentro do quadrado da base, com pelo menos 1 cm de folga de cada lado:

$$1 + 32 + 1 = 34 \text{ cm}$$

(A altura já serve: $6 + 1 = 7$ cm, igual à das caixas originais.)

3. Aumento em relação à caixa original.

$$34 - 14 = 20 \text{ cm}$$

Resposta: alternativa E (20).

Cuidado com a pegadinha: usar o raio (16) no lugar do diâmetro leva a $16 + 2 - 14 = 4$ (alternativa A). E esquecer a folga dá $32 - 14 = 18$ (alternativa D).

Voltar ao gabarito

Questão 176: Pressão interna da máquina (logaritmo e função quadrática)

Enunciado

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna $P$, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização $t$, em hora, e de um parâmetro positivo $K$, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

$$P = 4 \cdot \log[-K \cdot (t + 1) \cdot (t - 19)]$$

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.

O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro $K$, atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para $K$ é

  • A) $10^{0{,}5}$
  • B) $10^{8}$
  • C) $\dfrac{10^{2{,}5}}{84}$
  • D) $\dfrac{10^{2{,}5}}{99}$
  • E) $25 \times 10^{-2}$

Resolução

1. Condição sobre a pressão. Queremos $P \le 10$ para todo $t$ entre 0 e 10:

$$4 \log[-K(t + 1)(t - 19)] \le 10 \quad\Rightarrow\quad \log[-K(t + 1)(t - 19)] \le 2{,}5$$

Como o logaritmo (na base 10) é crescente:

$$-K(t + 1)(t - 19) \le 10^{2{,}5}$$

2. O maior valor de $g(t) = -(t + 1)(t - 19)$ entre 0 e 10. Essa é uma parábola com concavidade para baixo e raízes $-1$ e $19$. O vértice fica no meio das raízes:

$$t_V = \frac{-1 + 19}{2} = 9$$

que está dentro do intervalo $[0, 10]$. O valor máximo é

$$g(9) = -(9 + 1)(9 - 19) = -(10)(-10) = 100$$

3. Maior $K$. A condição tem de valer inclusive quando a pressão é máxima ($t = 9$):

$$K \cdot 100 \le 10^{2{,}5} \quad\Rightarrow\quad K \le \frac{10^{2{,}5}}{10^2} = 10^{0{,}5}$$

Resposta: alternativa A ($10^{0{,}5}$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D usa o valor no fim do expediente, $g(10) = 11 \cdot 9 = 99$. Mas a pressão é maior em $t = 9$ h do que em $t = 10$ h, então o limite tem de ser calculado no vértice.

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos e Equação do 2° grau.

Voltar ao gabarito

Questão 177: Projetos de túnel (área do semicírculo)

Enunciado

Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.

O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.

O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.

Considere 3 como aproximação para $\pi$ e desconsidere as espessuras das muretas.

O projeto a ser aprovado é

  • A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².
  • B) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m².
  • C) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m².
  • D) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m².
  • E) qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.

Resolução

A seção transversal de cada túnel é um semicírculo, de área $\frac{\pi r^2}{2}$.

1. Projeto 1. Túnel de automóveis com diâmetro 12 m ($r = 6$) e de bicicletas com diâmetro 6 m ($r = 3$):

$$\frac{3 \cdot 6^2}{2} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} = 54 + 13{,}5 = 67{,}5 \text{ m}^2$$

2. Projeto 2. Um túnel de diâmetro $3 + 6 + 6 + 3 = 18$ m ($r = 9$):

$$\frac{3 \cdot 9^2}{2} = \frac{243}{2} = 121{,}5 \text{ m}^2$$

3. Comparação. $67{,}5 < 121{,}5$: o Projeto 1 retira menos material.

Resposta: alternativa A (o 1, com 67,5 m²).

Cuidado com a pegadinha: as larguras somam o mesmo nos dois projetos ($12 + 6 = 18$), o que sugere áreas iguais (alternativa E). Mas a área cresce com o quadrado do raio: $6^2 + 3^2 = 45$ é bem menor que $9^2 = 81$. As alternativas C e D usam o círculo inteiro em vez do semicírculo.

Para revisar, veja Área do Círculo.

Voltar ao gabarito

Questão 178: Parcelas do carro (anulada)

Enunciado

Um carro que custa 60 mil reais é comercializado por uma revendedora que oferece duas opções de pagamento, todas sem entrada e sem juros:

  • opção 1: pagamento em $n$ parcelas iguais;
  • opção 2: pagamento em 6 parcelas a mais do que na opção 1 e, com isso, o valor de cada parcela se torna R$ 500,00 menor do que o valor da parcela na opção 1.

Nas duas opções de pagamento, o valor total a ser pago pelo carro é o mesmo.

Qual é a quantidade $n$ de parcelas contidas na opção 1 de pagamento?

  • A) 18
  • B) 24
  • C) 30
  • D) 42
  • E) 48

Situação

Questão anulada pelo INEP. O gabarito oficial do Caderno 5 – Amarelo registra esta questão como “Anulado”, sem informar o motivo. Todos os candidatos recebem a pontuação da questão.

Apenas como exercício (esta não é uma resposta oficial), a conta montada pelo enunciado é a seguinte. A parcela da opção 1 é $\frac{60\thinspace 000}{n}$, e a da opção 2 é $\frac{60\thinspace 000}{n + 6}$. A diferença entre elas é 500:

$$\frac{60\thinspace 000}{n} - \frac{60\thinspace 000}{n + 6} = 500 \quad\Rightarrow\quad \frac{360\thinspace 000}{n(n + 6)} = 500 \quad\Rightarrow\quad n(n + 6) = 720$$

Resolvendo $n^2 + 6n - 720 = 0$, a raiz positiva é $n = 24$ (de fato, $24 \cdot 30 = 720$). Com $n = 24$, as parcelas seriam R$ 2 500,00 e R$ 2 000,00.

Para revisar, veja Bhãskara.

Voltar ao gabarito

Questão 179: Presentes para três filhos (combinações)

Enunciado

Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.

De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?

  • A) 36
  • B) 53
  • C) 300
  • D) 360
  • E) 560

Resolução

1. Presentes do filho mais velho (3 presentes). Ele recebe exatamente um entre bicicleta e celular:

  • escolher qual deles: 2 maneiras;
  • escolher os outros 2 presentes entre os 6 que não são bicicleta nem celular:
$$\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

Total para o mais velho: $2 \cdot 15 = 30$ maneiras.

2. Presentes do mais novo (3 presentes). Sobram 5 presentes (sem restrição agora):

$$\binom{5}{3} = 10$$

3. Filho do meio. Fica com os 2 restantes: 1 maneira.

4. Total.

$$30 \cdot 10 \cdot 1 = 300$$

Resposta: alternativa C (300).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa E (560) é o total sem a restrição ($\binom{8}{3} \cdot \binom{5}{3} = 56 \cdot 10$). E esquecer que há 2 escolhas entre bicicleta e celular dá 150, metade da resposta.

Voltar ao gabarito

Questão 180: Distância percorrida pelo jogador (velocidade média)

Enunciado

A final de um campeonato de futebol foi disputada em 2 tempos regulamentares, de 45 minutos cada, sem acréscimos, com uma prorrogação de 30 minutos, também sem acréscimos. Um jogador entrou no início do segundo tempo, que dispunha de um equipamento para medir a distância percorrida durante sua participação no jogo. Ao final do segundo tempo regulamentar, esse jogador havia percorrido 4,5 km. Ele manteve na prorrogação a mesma velocidade média que havia mantido no segundo tempo regulamentar.

A distância percorrida por esse jogador durante sua participação na partida, em quilômetro, foi

  • A) 4,5.
  • B) 6,0.
  • C) 7,5.
  • D) 9,0.
  • E) 12,0.

Resolução

1. Velocidade média no 2º tempo. Ele percorreu 4,5 km em 45 minutos:

$$v = \frac{4{,}5 \text{ km}}{45 \text{ min}} = 0{,}1 \text{ km/min}$$

2. Distância na prorrogação (30 minutos):

$$0{,}1 \cdot 30 = 3{,}0 \text{ km}$$

3. Total.

$$4{,}5 + 3{,}0 = 7{,}5 \text{ km}$$

Resposta: alternativa C (7,5).

Cuidado com a pegadinha: o jogador não jogou o 1º tempo. Contar os 90 minutos regulamentares com a mesma velocidade leva a 12,0 km (alternativa E).

Para revisar, veja Taxas.

Voltar ao gabarito