Euler's Eyes
2026-10-11
Desigualdades nos triângulos
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois. Os antigos já brincavam que isso “até um burro sabe”.
Quem descobriu
A desigualdade triangular é a proposição I.20 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.); a relação entre o maior lado e o maior ângulo está nas proposições I.18 e I.19. A ideia de que o segmento é o caminho mais curto entre dois pontos já era intuitiva muito antes; o mérito de Euclides foi demonstrá-la a partir dos resultados anteriores.
A história
Proclo (século V d.C.) conta que os epicuristas zombavam de Euclides por provar a desigualdade triangular: até um burro, diziam, sabe que o caminho reto até o feno é mais curto do que dar a volta. Proclo respondeu que perceber um fato não é o mesmo que saber por que ele é verdadeiro. A demonstração mostra que o resultado depende de propriedades do plano — e por isso pode deixar de valer em outras geometrias, como a da superfície da Terra.
No século XX, a desigualdade triangular virou uma das três regras que definem qualquer “distância” na matemática. Ela aparece em análise, estatística e computação, muito longe dos triângulos.
No dia a dia
- Atalhos na grama. As trilhas que se formam atravessando praças e jardins mostram que as pessoas sabem, na prática, que a diagonal é mais curta que os dois lados.
- Três varetas formam triângulo? Só se a maior for menor que a soma das outras duas. Varetas de 2 cm, 3 cm e 6 cm não fecham.
- Rotas de entrega. Algoritmos de logística usam a desigualdade triangular para descartar desvios que nunca podem ser mais curtos.
- Telhados. Numa tesoura, o lado oposto ao maior ângulo é a viga mais longa — exatamente o que dizem as proposições I.18 e I.19.
Fontes: Elementos, proposição I.20 · Elementos, proposição I.18 · Proclo (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaAo maior lado opõe-se o maior ângulo
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes, e o maior ângulo está oposto ao maior lado: $BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$.
Recíproca: ao maior ângulo opõe-se o maior lado: $\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$.
Ver as demonstrações
Direto. Tome $D$ em $\overline{BC}$ com $\overline{CD} \equiv \overline{CA}$. Como $BC > AC$, $D$ é interno ao ângulo $C\hat{A}B$, logo $C\hat{A}B > C\hat{A}D$. O $\triangle CAD$ é isósceles de base $\overline{AD}$: $C\hat{A}D \equiv C\hat{D}A$. E $C\hat{D}A$ é ângulo externo do $\triangle ABD$, logo $C\hat{D}A > A\hat{B}D$. Juntando: $C\hat{A}B > C\hat{D}A > A\hat{B}C$, isto é, $\hat{A} > \hat{B}$.
Recíproca. Se fosse $BC < AC$, pelo teorema direto teríamos $\hat{A} < \hat{B}$; se fosse $BC \equiv AC$, pelo triângulo isósceles, $\hat{A} \equiv \hat{B}$. Ambos contrariam a hipótese, então $BC > AC$.
TeoremaDesigualdade triangular
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois: $a < b + c$.
Equivalentemente, cada lado é maior que a diferença dos outros dois. As três condições $a < b + c$, $b < a + c$ e $c < a + b$ se resumem em
$$|b - c| < a < b + c.$$Ver a demonstração
Tome $D$ na semirreta oposta a $\overrightarrow{AC}$ com $\overline{AD} \equiv \overline{AB}$. Então $DC = AC + AB$ (2). O $\triangle ABD$ é isósceles de base $\overline{BD}$: $A\hat{D}B \equiv A\hat{B}D$. Como $A$ é interno ao ângulo $C\hat{B}D$, temos $C\hat{B}D > A\hat{B}D \equiv C\hat{D}B$. No $\triangle BCD$, ao maior ângulo opõe-se o maior lado: $BC < DC$. Com (2), $BC < AC + AB$.