Os determinantes nasceram para resolver sistemas de equações lineares. Em 1750 Gabriel Cramer publicou a regra que leva o seu nome, que dá cada incógnita como uma razão de duas expressões formadas com os coeficientes. Mas faltava um jeito organizado de calcular essas expressões quando havia muitas incógnitas. Em 1772, quase ao mesmo tempo, Alexandre-Théophile Vandermonde e Laplace estudaram essas expressões como objetos por si mesmos. A palavra determinante, no sentido atual, só foi fixada por Cauchy em 1812, e as barras verticais que usamos hoje vieram de Arthur Cayley em 1841.

Seis termos, três grupos

O determinante de uma matriz $3 \times 3$ tem seis termos:

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1.$$

A ideia de Laplace é agrupar esses termos pelos elementos de uma linha (ou coluna). Pondo em evidência $a_1$, $a_2$ e $a_3$, os elementos da primeira coluna:

$$= a_1(b_2c_3 - b_3c_2) - a_2(b_1c_3 - b_3c_1) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1).$$

Cada parêntese é um determinante $2 \times 2$: o que sobra quando se apaga a linha e a coluna do elemento. Esse determinante menor se chama menor do elemento:

$$= a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} - a_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}.$$

O tabuleiro de sinais

Os sinais alternam seguindo um padrão de tabuleiro de xadrez: o elemento da linha $i$ e coluna $j$ leva o sinal $(-1)^{i+j}$.

$$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$$

O menor multiplicado por esse sinal se chama cofator. O desenvolvimento de Laplace diz que o determinante de uma matriz de qualquer tamanho é a soma dos elementos de uma linha ou coluna qualquer, cada um multiplicado pelo seu cofator. O teorema que Laplace demonstrou é ainda mais geral: em vez de uma linha, pode-se escolher várias linhas de uma vez e usar menores maiores.

Escolher bem a linha

Como se pode escolher qualquer linha ou coluna, vale escolher a que tem mais zeros. Por exemplo:

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 2(20 - 2) = 36.$$

Desenvolvendo pela primeira coluna, só um termo sobrevive.

Bonito, mas lento

Para uma matriz $n \times n$, o desenvolvimento completo produz $n!$ termos. Para $n = 10$ são $3\,628\,800$; para $n = 20$, cerca de $2{,}4 \times 10^{18}$. Por isso, para matrizes grandes, ninguém calcula determinantes assim: a eliminação de Gauss faz o trabalho em cerca de $\frac{n^3}{3}$ operações. O desenvolvimento de Laplace continua precioso para matrizes pequenas, para matrizes cheias de zeros e, principalmente, para demonstrar propriedades dos determinantes.

Exercício: um determinante 4×4

Calcule

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 2 \end{vmatrix}.$$

A última coluna só tem um elemento diferente de zero, o 2 na posição (4, 4), com sinal $(-1)^{8} = +$. Desenvolvendo por ela:

$$2\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}.$$

Agora a última linha só tem o 1 na posição (3, 3), com sinal $+$: $2 \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1 - 0) = 2$.

Exercício: duas linhas iguais

Use o desenvolvimento de Laplace para mostrar que um determinante $3 \times 3$ com duas linhas iguais vale zero.

Suponha que as linhas 1 e 2 sejam iguais e desenvolva pela linha 3, a que sobra. Cada cofator é, a menos do sinal, um determinante $2 \times 2$ formado pelas linhas 1 e 2, que são iguais: $\begin{vmatrix} p & q \\ p & q \end{vmatrix} = pq - qp = 0$. Todos os termos se anulam e o determinante é zero. O mesmo argumento, por indução, vale para qualquer tamanho.

Fontes: Pierre-Simon Laplace, “Recherches sur le calcul intégral et sur le système du monde”, Mémoires de l’Académie royale des sciences (1772, publicado em 1776) · Alexandre-Théophile Vandermonde, “Mémoire sur l’élimination”, Mémoires de l’Académie royale des sciences (1772) · Augustin-Louis Cauchy, “Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires”, Journal de l’École polytechnique 10 (1815) · Thomas Muir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, vol. 1 (1906).

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