Euler's Eyes
2022-10-01
Introdução a Radiciação
Nem toda raiz é irracional
Teste 4, 9 e 16 dentro da raiz. Compare com 2, 3 e 5. Explique a diferença.
Para muitas crianças a raiz quadrada de um número complexo e muitos professores assustam as crianças ao falar que é algo muito complexo. Porém, se soubermos de onde vem este termo, não é algo complexo. Muito pelo contrário, é algo simples e intuitivo. Esta é uma informação que foi perdida ao longo do tempo, isto é, tornamos uma notação estéril. O leitor verá que as notações semióticamnete ativas, são as que evoluíram para o avanço da matemática. A raiz quadrada sob ótica da linguagem latina (latim) radix quadratum 4 aequalis 2, que traduzimos como o lado do quadrado de área 4 é igual a 2.
Evolução da Notação
A seguir, podemos ver a evolução da notação:
| Parte 1 | Parte 2 |
|---|---|
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Por estes absurdos que estes posts vão auxiliá-los a entender esta perda de informação.
Radiciação ou Potênciação fracionária
Nesta seção, vamos trabalhar a radiciação como potência com números fracionários. Por exemplo:
$$\sqrt{4} = \sqrt[2]{4} = 4^{\frac{1}{2} } = (2^2)^{\frac{1}{2} } = 2^{\frac{2}{2} } = 2^1 =2$$
| Área do quadrado | lado | Tradução | Notação |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | lado do quadrado 4 é igual a 2 | $\quad\sqrt{4}=2$ |
| 9 | 3 | lado do quadrado 9 é igual a 3 | $\quad\sqrt{9}=3$ |
| 16 | 4 | lado do quadrado 16 é igual a 4 | $\quad\sqrt{16}=4$ |
| 25 | 5 | lado do quadrado 25 é igual a 5 | $\quad\sqrt{25}=5$ |
| 36 | 6 | lado do quadrado 36 é igual a 6 | $\quad\sqrt{36}=6$ |
| 49 | 7 | lado do quadrado 49 é igual a 7 | $\quad\sqrt{49}=7$ |
| 64 | 8 | lado do quadrado 64 é igual a 8 | $\quad\sqrt{64}=8$ |
| 81 | 9 | lado do quadrado 81 é igual a 9 | $\quad\sqrt{81}=9$ |
| 100 | 10 | lado do quadrado 100 é igual a 10 | $\quad\sqrt{100}=10$ |
| 121 | 11 | lado do quadrado 121 é igual a 11 | $\quad\sqrt{121}=11$ |
Raiz cúbica
A raiz cúbica é quando o índece da raiz é 3.
$$\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3} } = (3^3)^{\frac{1}{3} } = 3^{\frac{3}{3} } = 3^1 =2$$Raiz quarta
A raiz quarta é quando o índece da raiz é 4.
$$\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4} } = (2^4)^{\frac{1}{4} } = 2^{\frac{4}{4} } = 2^1 =2$$Raiz n-ésima
A raiz n-ésima é quando o índece da raiz é n.
$$\sqrt[n]{k} = p$$- k: radicando
- n: índice
- p: raiz
- $\sqrt{\quad}$: radical
Propriedades
Algumas propriedades podem facilitar o uso da raiz de números.
Prorpriedade 1: raiz o índice do radicando é o mesmo do índice do radical.
$$\sqrt[n]{a^n}=a$$
De fato,
$$\sqrt[n]{a^n}=(a^n)^{\frac{1}{n} } = 2^{\frac{n}{n} } = a^1 =a$$Exemplo 1:
$$\sqrt{4}=(2^2)^{\frac{1}{2} } = 2^{\frac{2}{2} } = 2^1 =2$$Prorpriedade 2: potência fracionária.
$$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$$
Exemplo 2:
$$\sqrt[4]{27}=(3^3)^{\frac{1}{4} } = 2^{\frac{3}{4} }$$Exemplo 3:
$$\sqrt[3]{64}=(2^6)^{\frac{1}{3} } = 2^{\frac{6}{3} }=2^2=4$$Exemplo 4:
$$\sqrt[3]{16}=(2^4)^{\frac{1}{3} } = 2^{\frac{4}{3} }= 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3} }= 2^{\frac{1}{3} }~.~ 2^{\frac{3}{3} }=2\sqrt[3]{2}$$Prorpriedade 3: multiplicação de raízes de índices iguais.
$$\sqrt[n]{a}~.~\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a~.~b}$$
De fato,
$$\sqrt[n]{a}~.~\sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}}~.~b^{\frac{1}{n}}=(a~.~b)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a~.~b}$$Exemplo 5:
$$\sqrt[3]{2}~.~\sqrt[3]{3} = 2^{\frac{1}{3}}~.~3^{\frac{1}{3}}=(2~.~3)^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{2~.~3} = \sqrt[3]{6}$$Prorpriedade 4: divisão de raízes de índices iguais.
$$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$$
De fato,
$$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}= \dfrac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$$Exemplo 6:
$$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}= \dfrac{5^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} = \left(\dfrac{5}{4}\right)^{\frac{1}{2}}= \sqrt{\dfrac{5}{4}}$$Estes são os conceitos básicos de radiciação. Aguardem os próximos posts.