Em 1676, o inglês Robert Hooke publicou, no fim de um livro sobre helioscópios, instrumentos para observar o Sol, uma lista de descobertas que ainda não queria revelar. Uma delas vinha assim:

$$\textit{ceiiinosssttuv}$$

Era um anagrama: as letras de uma frase em latim, embaralhadas e postas em ordem alfabética. Era um jeito de registrar a prioridade de uma descoberta sem entregá-la aos rivais. Dois anos depois, em 1678, Hooke revelou a frase: ut tensio, sic vis, “como a extensão, assim a força”. Quanto mais se estica uma mola, mais forte ela puxa de volta. Hoje escrevemos isso em quatro sinais:

$$F=-kx.$$

O anagrama é o oposto exato de uma notação: uma escrita feita para esconder. A fórmula é feita para mostrar. A mesma lei passou de um extremo ao outro em pouco mais de um século.

Uma pergunta cuja resposta é uma função

Prenda um corpo de massa $m$ à mola, puxe e solte. Onde estará o corpo em cada instante $t$? Juntando a lei de Hooke com a lei de Newton, $F=m\cdot a$, e escrevendo a aceleração como a segunda derivada da posição, obtemos

$$m\,\frac{d^2x}{dt^2}=-k\,x.$$

Isso é uma equação diferencial. Ela é estranha à primeira vista, porque a incógnita não é um número, e sim uma função: a regra $x(t)$ que diz a posição em cada instante. Os antigos textos deste site formulavam esse tipo de pergunta como uma charada: “existe uma função $h$ cuja segunda derivada, somada à própria função, dá zero; que função é essa?”. A resposta é o seno, ou o cosseno, porque derivar duas vezes um deles devolve ele mesmo com o sinal trocado:

$$\frac{d^2}{dt^2}\cos t=-\cos t.$$

Para a mola, a solução é $x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$, com $\omega=\sqrt{k/m}$. Leonhard Euler, nos anos 1740, mostrou como resolver de uma vez toda a família dessas equações, trocando a pergunta sobre funções por uma equação algébrica comum. Só foi possível porque o $f(x)$ de Euler e o $\frac{d}{dx}$ de Leibniz já davam nome às funções e às suas derivadas: uma equação entre funções precisa de uma escrita em que funções sejam objetos.

As unidades também são signos

Como saber se $\omega=\sqrt{k/m}$ está certo, e não $\sqrt{m/k}$? Pelas unidades. A constante $k$ mede força por comprimento, $\frac{\mathrm N}{\mathrm m}=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s^2}$. Dividida por uma massa, dá $\frac1{\mathrm s^2}$, e a raiz dá $\frac1{\mathrm s}$: exatamente a unidade de algo que se multiplica pelo tempo dentro de um cosseno, já que o argumento do cosseno precisa ser um número puro. Com $\sqrt{m/k}$ sairiam segundos, e $\cos(\text{segundos}\cdot\text{segundos})$ não faz sentido.

Essa conferência, a análise dimensional, foi sistematizada por Joseph Fourier em 1822, e James Clerk Maxwell popularizou a escrita entre colchetes: $[M]$ para massa, $[L]$ para comprimento, $[T]$ para tempo. A força fica $[F]=[M][L][T]^{-2}$. Os antigos textos do site gostavam de lembrar que muitas questões de vestibular de física se resolvem só por esse caminho. Do ponto de vista semiótico, as unidades são uma segunda camada de sinais grudada nos números, uma camada que não serve para calcular, e sim para conferir: uma fórmula cujas unidades não fecham está errada antes de qualquer conta.

O ∂ e a harpa

Quando uma grandeza depende de várias outras ao mesmo tempo, como o volume de um gás, que depende da temperatura $T$ e da pressão $P$, a derivada de Leibniz precisa de um aviso: “derivada em relação a $T$, mantendo $P$ fixo”. Em 1786, o francês Adrien-Marie Legendre propôs um $d$ arredondado, $\partial$, para essas derivadas parciais, e logo o abandonou. Em 1841, o alemão Carl Jacobi o recuperou, e desta vez pegou. Com ele, a variação total do volume se escreve

$$dV=\frac{\partial V}{\partial T}\,dT+\frac{\partial V}{\partial P}\,dP,$$

uma fórmula que os antigos textos deste site chamavam de “cânon do calor”. Ela diz, na própria forma, que a mudança total é a soma das mudanças em cada direção.

O sinal mais curioso dessa família é o $\nabla$, um $\Delta$ de cabeça para baixo, que Hamilton usou nos seus trabalhos sobre quatérnios. Ele junta as derivadas parciais em todas as direções num único sinal, e com ele escrevem-se a equação de Laplace, $\nabla^2\Psi=0$, e as quatro equações de Maxwell que vimos no texto anterior. O nome nabla foi sugerido a Peter Guthrie Tait por um amigo estudioso da Bíblia: é o nome grego de uma harpa antiga, de formato triangular. Maxwell, brincando, chamava o operador de atled, “delta” ao contrário.

Exercício: o período da mola

Uma mola de constante $k=8\ \mathrm{N/m}$ segura um corpo de $m=2\ \mathrm{kg}$. Então $\omega=\sqrt{8/2}=2\ \mathrm{s^{-1}}$, e o movimento $x(t)=A\cos(2t)$ se repete quando $2t$ aumenta $2\pi$, ou seja, a cada $\pi\approx3{,}14$ segundos. Conferindo as unidades: $\frac{\mathrm{N/m}}{\mathrm{kg}}=\frac{\mathrm{kg/s^2}}{\mathrm{kg}}=\mathrm s^{-2}$, e a raiz dá $\mathrm s^{-1}$, como deveria.

Exercício: propagação de erros com ∂

Os antigos textos do site traziam este problema: uma lata cilíndrica tem raio $R=5$ cm e altura $H=9$ cm, medidos com erro de $0{,}1$ cm cada. Qual é o volume, e com que incerteza? Como $V=\pi R^2H$,

$$\begin{aligned}dV&=\frac{\partial V}{\partial R}\,dR+\frac{\partial V}{\partial H}\,dH=2\pi RH\,dR+\pi R^2\,dH\\&=2\pi\cdot45\cdot0{,}1+\pi\cdot25\cdot0{,}1\approx28{,}3+7{,}9.\end{aligned}$$

Logo $V\approx706{,}9\pm36{,}1\ \mathrm{cm}^3$. A fórmula com $\partial$ mostra de onde vem cada parte do erro: o raio pesa quase quatro vezes mais que a altura, porque aparece ao quadrado.

Fontes: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations · Robert Hooke, MacTutor · Joseph Fourier, MacTutor · Earliest Uses of Symbols of Calculus, Jeff Miller.

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