Parênteses mudam a base

Compare (−2)² com −2². Depois mude o expoente para 3. O sinal de menos pertence à base nos dois casos?

Em telas pequenas, deslize o gráfico na horizontal para ler os detalhes.

O símbolo ^ indica o expoente. A leitura dos parênteses vem antes do cálculo.

Por que os resultados podem ser diferentes?

  1. (−2)² tem base −2: (−2) × (−2) = 4.
  2. −2² indica o oposto de 2².
  3. Primeiro 2 × 2 = 4; depois tomamos seu oposto, −4.
  4. Logo, (−2)² = 4 e −2² = −4.

Hipócrates de Quios em torno de 470 a.C. foi o primeiro a citar sobre potênciação, para aplicação em geometria, que serviu como motivação para criação do livro Elementos de Euclides. Em suas coletâneas chamou o tema de “dynamis”, que significa simplesmente potência.

Os cálculos mais significativos com uso de dynamis, foi feita por Arquimedes de Siracusa em torno de 287 a.C. Suas aplicações foram na área de física, que eram utilizadas na engenharia da época.

Noções preliminares de potenciação

Na história da matemática, estudiosos eram conhecidos como (exacuo). Outros termos também conhecidos da época eram natureza (phýsis) e evolução (logos). Desta forma, obtemos as derivações dos termos:

  • Exactum é equivalente a Invenção
  • Exactus é equivalente a Perfeito

Para entendimento da evolução da matemática temos que observar os principais tópicos históricos da matemática.

Estudo.
  • Anos 0 a 1637 - Desenhar a natureza;
  • Anos 1637 a 1830 - Decodificar a natureza;
  • Anos 1830 a 1890 - Imitar e engenhar a natureza;
  • Anos 1890 a 1980 - Controlar a natureza;
  • Anos 1980 a hoje - Criar a natureza.
René Descartes
René Descartes René Descartes

Já na idade média, estes conceitos de potênciação, foram solidificados com o filósofo René Descartes em torno de 1596, com sua obra Geometrie em 1637.

La geometrie.

Expoentes

O conceito de expoente, como dito começou com Arquimedes, que ao estudar volumes, obteve um número muito, mas muito grande. Disto, começou a representar este tipo de número com potência de 10.

Definição: O número que é apresentado acima da base é chamado de expoente.

O principal estudo idealizado por Arquimedes para esta representação foi de Contador de Grãos de Areia.

Exemplo: a base do contador de grãos de areia é 10.

Potência dez elevado a cinquenta e um, com base e expoente identificados.
A base é 10 e o expoente é 51.
Ampliar figura para ler os detalhes
Potência dez elevado a cinquenta e um, com base e expoente identificados.

A base da potenciação pode ser um número qualquer, mas neste post vamos utilizar os números inteiros:

$$\mathbb{Z} = \\{\dots, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \dots\\}$$

Potência de 10

Por exemplo, vamos introduzir os números em potência de 10.

Potência de 10 Igual Representação em múltiplo de 10
$10^1$ $=$ 10
$10^2$ $=$ 100
$10^3$ $=$ 1000
$10^4$ $=$ 10000
$10^5$ $=$ 100000
$10^6$ $=$ 1000000
$10^7$ $=$ 10000000
$10^8$ $=$ 100000000
$10^9$ $=$ 1000000000
$10^{10}$ $=$ 10000000000
$10^{11}$ $=$ 100000000000
$10^{12}$ $=$ 1000000000000

A principal motivação para utilização da potenciação foi utilizada por Arquimedes. Para esta representação, Arquimedes chamou de Contador de Grãos de Areia.

Como foi que ele chegou a esta conclusão?

Contador de Grãos de Areia: os grãos de areia necessários para preencher uma esfera de raio igual a distância entre a Terra e o Sol é da ordem de $10^{51}$ (boa ideia) 😂😂😂. Estes números eram escritos da ordem até 10000 chamada de miríade.

No sistema de numeração de Arquimedes, os números até uma miríade ($10000 = 10^4$).

  • Sistema de numeração até uma miríade de miríade ($10000^2 = 10^8$).

Desta forma, para o contador de grãos de areia, ele precisava de um sistema de numeração que fosse maior que $10^8$. Então, verificamos a ideia.

  • Um miríade de miríade
    • $10000 ~.~ 10000 = 10^8$
  • Contador de Grãos de areia
    • $10^3 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 ~.~ 10^8 = 10^{51}$

Desta forma, como fez para expandir esta regra?

Observamos a seguir:

Potência de 10 Igual Representação em múltiplo de 10
$10$ $=$ $10$
$10^2$ $=$ $10 ~.~10 = 10^{1+1} = 10^2$
$10^3$ $=$ $10 ~.~10 ~.~10 = 10^{1+1+1} = 10^3$
$ \vdots $ $=$ $ \vdots $
$10^n$ $=$ $10 ~.~\dots~.~10 = 10^n$

De forma geral:

$$ \begin{aligned} \underbrace{10 ~\times~\dots~\times~10}_{n ~\text{vezes} } &= 10^{\underbrace{1+\dots+1}_{n \text{ termos} } } = 10^n\\ \text{base}\times \dots \times \text{base} &= \text{base}^{\text{soma de expoentes} } \end{aligned} $$

Potência de 2

Com conceito de potência de 10, podemos falar agora da potência de base 2.

Potência de 2 Igual Representação em múltiplo de 2 $=$ Expoente Resultado
$2^1$ $=$ $2$ $=$ $2^1$ $2$
$2^2$ $=$ $2~.~2$ $=$ $2^{1+1} =2^1~.~2^1$ $4$
$2^3$ $=$ $2~.~2 ~.~2$ $=$ $2^{1+1+1} = 2^2~.~2$ $8$
$2^4$ $=$ $2~.~2 ~.~2~.~2$ $=$ $2^{1+1+1+1}= 2^2~.~2^2=4~.~4$ $16$
$2^5$ $=$ $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2$ $=$ $2^{1+1+1+1+1}= 2^4~.~2$ $32$
$2^6$ $=$ $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2$ $=$ $2^{1+1+1+1+1+1} = 2^3~.~2^3 = 8~.~8$ $64$
$2^7$ $=$ $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ $=$ $2^{1+1+1+1+1+1+1} = 2^6~.~2$ $128$
$2^8$ $=$ $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ $=$ $2^{1+1+1+1+1+1+1+1}= 2^4~.~2^4 = 16 ~.~16$ $256$
$2^9$ $=$ $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ $=$ $2^{1+1+1+1+1+1+1+1+1} = 2^8~.~2$ $512$
$2^{10}$ $=$ $2~.~2 ~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2~.~2$ $=$ $2^{1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}=2^5~.~2^5 = 32~.~32$ $1024$

Potência de 3

Com conceito de potência de 10, podemos falar agora da potência de base 3.

Potência de 3 Igual Representação em múltiplo de 3 $=$ Expoente Resultado
$3^1$ $=$ $3$ $=$ $3^1$ $3$
$3^3$ $=$ $3~.~3$ $=$ $3^{1+1} =3^1~.~3^1$ $9$
$3^3$ $=$ $3~.~3 ~.~3$ $=$ $3^{1+1+1} = 3^2~.~3$ $27$
$3^4$ $=$ $3~.~3 ~.~3~.~3$ $=$ $3^{1+1+1+1}= 3^2~.~3^2=9~.~9$ $81$
$3^5$ $=$ $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3$ $=$ $3^{1+1+1+1+1}= 3^4~.~3$ $243$
$3^6$ $=$ $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3$ $=$ $3^{1+1+1+1+1+1} = 3^3~.~3^3 = 27~.~27$ $729$
$3^7$ $=$ $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ $=$ $3^{1+1+1+1+1+1+1} = 3^6~.~3$ $2187$
$3^8$ $=$ $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ $=$ $3^{1+1+1+1+1+1+1+1}= 3^4~.~3^4 = 81 ~.~81$ $6561$
$3^9$ $=$ $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ $=$ $3^{1+1+1+1+1+1+1+1+1} = 3^8~.~3$ $19683$
$3^{10}$ $=$ $3~.~3 ~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3~.~3$ $=$ $3^{1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}=3^5~.~3^5=243~.~243$ $59049$

Caso geral

Com alguns casos dados nas seções anteriores, podemos estender para o caso. Seka $k$ um número inteiro $(k \in \mathbb{Z})$ e $n$ um expoente com número natural $(n\in \mathbb{N})$.

Potência de $k$ Grupos de números
$k^n$ $k \in \mathbb{Z}, \quad n\in \mathbb{N}$

Exemnplos

Para fixarmos os conceitos, tomamos $k\in \mathbb{Z}$ número inteiroe $n\in \mathbb{N}$ número natural.

$k\in \mathbb{Z}$ número interiro Conjuntos da potências
$-6$ $(-6)^n=\\{(-6)^1, (-6)^2, (-6)^3, (-6)^4, \dots\\} $
$-5$ $(-5)^n=\\{(-5)^1, (-5)^2, (-5)^3, (-5)^4, \dots\\} $
$-4$ $(-4)^n=\\{(-4)^1, (-4)^2, (-4)^3, (-4)^4, \dots\\} $
$-3$ $(-3)^n=\\{(-3)^1, (-3)^2, (-3)^3, (-3)^4, \dots\\} $
$-2$ $(-2)^n=\\{(-2)^1, (-2)^2, (-2)^3, (-2)^4, \dots\\} $
$-1$ $(-1)^n=\\{(-1)^1, (-1)^2, (-1)^3, (-1)^4, \dots\\} $
$1$ $1^n=\\{1^1, 1^2, 1^3, 1^4, \dots\\} $
$2$ $2^n=\\{2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots\\} $
$3$ $3^n=\\{3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots\\} $
$4$ $4^n=\\{4^1, 4^2, 4^3, 4^4, \dots\\} $
$5$ $5^n=\\{5^1, 5^2, 5^3, 5^4, \dots\\} $
$6$ $6^n=\\{6^1, 6^2, 6^3, 6^4, \dots\\} $

Existem algumas propriedades para potências. Porém, vamos deixar para depois, pois precisamos primeiro da regra de sinais.