Newton e Leibniz inventaram o cálculo integral no século XVII, mas durante muito tempo ninguém se preocupou em definir com precisão o que é uma integral. Para as funções comuns, a integral era simplesmente o inverso da derivada, ou a área sob a curva, e isso bastava.

Funções estranhas

No começo do século XIX a situação mudou. Fourier mostrou que funções muito irregulares, com saltos e cantos, podiam ser escritas como somas de senos e cossenos, e os coeficientes dessas somas eram dados por integrais. Mas que sentido tinha integrar uma função cheia de saltos? Cauchy deu uma primeira definição para funções contínuas. Dirichlet, o professor de Riemann, encontrou em 1829 uma função que não se podia integrar de jeito nenhum: a que vale 1 nos racionais e 0 nos irracionais.

Riemann enfrentou o problema no seu trabalho de habilitação de 1854, sobre as séries trigonométricas. Para saber quais funções podiam ser escritas como séries de Fourier, precisava antes saber exatamente quais funções podiam ser integradas.

A definição

A ideia de Riemann é simples. Para integrar $f$ no intervalo $[a, b]$:

  1. corte o intervalo em pedaços $[x_0, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$, com $x_0 = a$ e $x_n = b$;
  2. em cada pedaço, escolha um ponto qualquer $\xi_i$;
  3. forme a soma das áreas dos retângulos de base $x_i - x_{i-1}$ e altura $f(\xi_i)$:
$$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,(x_i - x_{i-1}).$$

Se, quando os pedaços ficam todos muito estreitos, essas somas se aproximam de um mesmo número, não importando como os pedaços e os pontos foram escolhidos, esse número é a integral:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim S.$$

A exigência de que a escolha dos pontos não importe é o coração da definição. Na figura, mude o ponto escolhido em cada faixa e o número de faixas:

Quais funções são integráveis

Riemann deu também um critério. Em cada faixa, a função varia entre um valor mínimo e um máximo; a diferença é a oscilação da função naquela faixa. A função é integrável quando a soma das oscilações multiplicadas pelas larguras das faixas pode ficar tão pequena quanto se queira. Toda função contínua passa no teste, e também muitas funções com saltos: basta que os saltos não sejam “demais”.

A função de Dirichlet não passa: em qualquer faixa, por menor que seja, há racionais e irracionais, e a oscilação é sempre 1. As somas valem 1 ou 0 conforme os pontos escolhidos, e não há um limite único.

Exercício: a soma da esquerda para x²

Calcule a soma de Riemann de $f(x) = x^2$ em $[0, 1]$ com $n$ faixas iguais e o ponto da esquerda de cada faixa. Mostre que ela tende a $\frac{1}{3}$.

As faixas têm largura $\frac{1}{n}$, e o ponto da esquerda da faixa $i$ é $\frac{i-1}{n}$. A soma é

$$S_n = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i-1}{n}\right)^2\frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}.$$

Quando $n$ cresce, isso se aproxima de $\frac{2n^3}{6n^3} = \frac{1}{3}$. Para $n = 10$, $S_{10} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6000} = 0{,}285$.

Exercício: a função degrau

Seja $f(x) = 0$ para $x < \frac{1}{2}$ e $f(x) = 1$ para $x \ge \frac{1}{2}$. Mostre que $f$ é integrável em $[0, 1]$ e calcule a integral.

A função só oscila na faixa que contém $\frac{1}{2}$, e lá a oscilação é 1. Com $n$ faixas iguais, a soma das oscilações vezes larguras é no máximo $2 \cdot \frac{1}{n}$ (se $\frac{1}{2}$ cair na fronteira entre duas faixas), que tende a zero. Logo $f$ é integrável. Todas as somas se aproximam da área do retângulo de base $\frac{1}{2}$ e altura 1: a integral vale $\frac{1}{2}$.

Fontes: Bernhard Riemann, “Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe” (habilitação de 1854, publicada em 1867) · Thomas Hawkins, Lebesgue’s Theory of Integration: Its Origins and Development (1970) · Detlef Laugwitz, Bernhard Riemann 1826–1866 (1999).

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