Exercícios do capítulo 7 — Quadriláteros notáveis

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine os ângulos do quadrilátero $ABCD$ nos casos:

Determine o valor de $x$ nos casos: a) $PA = PB$; b) $AB = AD$ e $CB = CD$.

Se $\overline{AP}$ e $\overline{BP}$ são bissetrizes, determine $x$ nos casos:

Se $\overline{AP}$ e $\overline{BP}$ são bissetrizes, determine: a) $\hat{C} + \hat{D}$; b) $\hat{C}$, que excede $\hat{D}$ em $10^{\circ}$.

Se $\overline{BP}$, $\overline{AP}$, $\overline{CQ}$ e $\overline{DQ}$ são bissetrizes, determine $x + y$.

Se $ABCD$ é trapézio de bases $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$, determine $x$ e $y$.

$ABCD$ é trapézio de bases $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$. Se $\overline{DP}$ e $\overline{CP}$ são bissetrizes, determine $x$ e $B\hat{C}D$.

Se o trapézio $ABCD$ é isósceles de bases $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$, determine $\hat{A}$.

Se $ABCD$ é um paralelogramo com $\hat{A} = 2x$ e $\hat{C} = x + 70^{\circ}$, determine $\hat{B}$.

Sendo $ABCD$ um paralelogramo, $\overline{AP}$ bissetriz, $AB = 7$ cm e $PC = 3$ cm, determine o perímetro do paralelogramo.

Se $ABCD$ é um paralelogramo, $AD = 20$ cm, $BQ = 12$ cm e $BP = BQ$, determine o perímetro desse paralelogramo.

Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40 cm, sabendo que a base excede a altura em 4 cm.

Determine a base e a altura de um retângulo, sabendo que o perímetro vale 288 m e que a base excede em 4 m o triplo da altura.

Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo que o seu perímetro mede 84 m e que a soma dos lados menores representa $\dfrac{2}{5}$ da soma dos lados maiores.

A soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a $\dfrac{5}{13}$ da soma dos outros dois ângulos opostos. Determine-os.

Determine as medidas dos ângulos de um paralelogramo, sabendo que a diferença entre dois consecutivos é igual a $\dfrac{1}{9}$ da soma dos seus ângulos.

Prove que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo cortam-se em ângulo reto.

Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de $110^{\circ}$. Determine o maior ângulo do trapézio.

A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual à terça parte de um reto. Determine os quatro ângulos do losango.

A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de $55^{\circ}$. Determine o valor dos ângulos agudos.

A base maior de um trapézio isósceles mede 12 cm e a base menor 8 cm. Calcule o comprimento dos lados não paralelos, sabendo que o perímetro é 40 cm.

Um dos ângulos internos de um trapézio isósceles é os $\dfrac{2}{7}$ do ângulo externo adjacente. Determine os quatro ângulos do trapézio.

A soma de dois ângulos consecutivos de um trapézio é igual a $78^{\circ}$ e sua diferença é $4^{\circ}$. Determine o maior ângulo do trapézio.

Determine as medidas dos ângulos formados pelas bissetrizes internas de um trapézio em que dois ângulos agudos consecutivos medem $80^{\circ}$ e $60^{\circ}$.

Com um arame de 36 m de comprimento construímos um triângulo equilátero e, com o mesmo arame, depois construímos um quadrado. Determine a razão entre o lado do triângulo e o lado do quadrado.

Se $ABCD$ é quadrado e $ABP$ é triângulo equilátero, determine $x$ nos casos:

Considerando congruentes os segmentos com “marcas iguais”, determine os valores das incógnitas nos casos:

No triângulo $ABC$ de lados $AB = 9$, $BC = 14$ e $AC = 11$, os pontos $D$, $E$ e $F$ são pontos médios de $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$, respectivamente. Calcule o perímetro do triângulo $DEF$.

Calcule o perímetro do triângulo $ABC$, sendo $MN = 7$ cm, $NR = 4$ cm e $MR = 8$ cm, e $M$, $N$, $R$ pontos médios dos lados $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$, respectivamente.

Prove que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.

A que condições devem obedecer as diagonais de um quadrilátero convexo para que os pontos médios de seus lados sejam vértices de um losango? E de um retângulo?

A que condições devem obedecer as diagonais de um quadrilátero convexo para que os pontos médios de seus lados sejam vértices de um quadrado?

Seja $ABCD$ um trapézio de base maior $\overline{AB}$ e base menor $\overline{CD}$, $M$ o ponto médio do lado $\overline{AD}$ e $N$ o ponto médio de $\overline{BC}$. Os pontos $P$ e $Q$ são os pontos de interseção de $\overline{MN}$ com as diagonais $\overline{AC}$ e $\overline{BD}$. Dados $AB = a$ e $CD = b$, calcule $MN$, $MP$, $MQ$, $NP$, $NQ$ e $PQ$.

A base média de um trapézio vale 20 cm e a base maior é os $\dfrac{3}{2}$ da base menor. Determine as bases.

Em um trapézio são dadas as bases $AB = 20$ cm e $CD = 12$ cm. Considere os pontos $P$ e $Q$ médios das diagonais $\overline{AC}$ e $\overline{BD}$ e, depois, os pontos $R$ e $S$ médios dos lados $\overline{BC}$ e $\overline{AD}$. Calcule os segmentos $PR$, $RQ$ e $RS$.

Considerando que os segmentos com “marcas iguais” são congruentes, determine os valores das incógnitas nos casos:

Num trapézio retângulo em que o ângulo agudo mede $45^{\circ}$, a altura é igual à diferença das bases.

Prove que a altura de um trapézio retângulo que tem o ângulo agudo medindo $30^{\circ}$ é igual à metade do lado não perpendicular às bases.

Prove que as bissetrizes dos ângulos obtusos de um paralelogramo são paralelas.

Prove que as bissetrizes dos ângulos formados pelas diagonais de um retângulo são paralelas aos lados do retângulo.

Num trapézio isósceles $ABCD$, a base menor $\overline{AB}$ é congruente aos lados não paralelos. Prove que as diagonais são bissetrizes dos ângulos $\hat{C}$ e $\hat{D}$ do trapézio.

Num paralelogramo $ABCD$ traçamos sua diagonal $\overline{AC}$. Pelos vértices $B$ e $D$ traçamos dois segmentos $\overline{BP}$ e $\overline{DQ}$ perpendiculares à diagonal $\overline{AC}$, com $P$ e $Q$ em $\overline{AC}$. Prove que $\overline{BP}$ é congruente a $\overline{DQ}$.

Pelo ponto médio $M$ da base $\overline{BC}$ de um triângulo isósceles $ABC$ traçamos os segmentos $\overline{MP}$ e $\overline{MQ}$ respectivamente paralelos aos lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ do triângulo. Prove que $APMQ$ é um losango.

Consideremos um quadrilátero convexo com dois ângulos opostos retos. Prove que as bissetrizes dos outros dois ângulos internos do quadrilátero são semirretas paralelas entre si.

Na figura, $ABCD$ é um quadrado, em que $BC + CE = AE$. Sendo $F$ o ponto médio de $\overline{DC}$, prove que $B\hat{A}E = 2F\hat{A}D$.