Em álgebra elementar, transformar um polinômio em produto (fatorar) é um recurso de enorme importância prática:
$x^2 - 2x = x(x - 2)$ colocação em evidência
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ diferença de quadrados
$x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2$ trinômios quadrados perfeitos
$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ soma de cubos
$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ diferença de cubos
$x^3 \pm 3x^2 + 3x \pm 1 = (x \pm 1)^3$ cubos perfeitos

Muitas vezes aplicaremos esses recursos à trigonometria, com transformações como $\operatorname{sen}^2 x - 2\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 2)$ e $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen} x - \cos x)$. Além dos recursos algébricos, a trigonometria dispõe de fórmulas que permitem completar uma fatoração — no exemplo acima, fatorar também $\operatorname{sen} x + \cos x$ e $\operatorname{sen} x - \cos x$.

A história

As fórmulas que transformam produtos em somas são chamadas de fórmulas de Werner, em homenagem ao padre e matemático alemão Johannes Werner (1468–1522), que as usou em problemas de astronomia. No fim do século XVI, astrônomos como Tycho Brahe e seu assistente Paul Wittich perceberam que elas permitiam trocar multiplicações de números grandes, como os senos das tábuas, por somas e subtrações, muito mais rápidas: o método ficou conhecido como prostaférese (do grego “adição e subtração”). Pouco depois, os logaritmos de Napier fariam o mesmo serviço de forma ainda mais simples.

A prostaférese de Tycho Brahe: para multiplicar dois números, procure-os numa tábua de cossenos, some e subtraia os arcos e tire a média de dois cossenos.
  1. 1580
    Paul Wittich leva a prostaférese ao observatório de Tycho, em Hven.
  2. 1614
    Napier publica os logaritmos: multiplicar vira somar.
  3. c. 1622
    Oughtred inventa a régua de cálculo.
  4. 1972
    Chegam as calculadoras científicas de bolso.
  1. Nasce no castelo da família, na Escânia, então parte da Dinamarca.
  2. Estuda na universidade. Um eclipse do Sol, em 1560, o faz decidir-se pela astronomia.
  3. Perde parte do nariz num duelo de espadas com um primo e passa a usar uma prótese de metal.
  4. Constrói Uraniborg e depois Stjerneborg, observatórios com instrumentos gigantes. Em 1580, Paul Wittich lhe ensina a prostaférese.
  5. Matemático imperial de Rodolfo II. Contrata Johannes Kepler, que herdará as suas observações.
Os lugares de Tycho Brahe, do castelo da família à corte de Praga. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

Fontes: Tycho Brahe (MacTutor) · Werner (MacTutor) · Wittich (MacTutor).

No dia a dia

  • Afinar o violão. Duas cordas quase afinadas, em 440 Hz e 442 Hz, somadas soam como $2\operatorname{sen}(2\pi \cdot 441\,t)\cos(2\pi \cdot 1\,t)$: uma nota de 441 Hz cujo volume pulsa 2 vezes por segundo. Quando o pulsar some, as cordas estão afinadas.
  • Teclado do telefone. Cada tecla soma dois tons: a tecla 1, por exemplo, soma 697 Hz e 1209 Hz. A central identifica a tecla separando a soma.
  • Rádio AM. Multiplicar o som pela onda da emissora gera, pelas fórmulas de produto em soma, frequências “soma” e “diferença” — as bandas laterais que o rádio sintoniza.
Duas cordas quase afinadas: a soma das ondas vira um produto, e o volume pulsa com a diferença das frequências.

Teoria

Fórmulas de Werner

Sabemos que

$$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b \;(1) \qquad \cos(a - b) = \cos a\cos b + \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b \;(2)$$$$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a\cos b + \operatorname{sen} b\cos a \;(3) \qquad \operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen} a\cos b - \operatorname{sen} b\cos a \;(4)$$

Somando e subtraindo essas igualdades duas a duas:

PropriedadeFórmulas de Werner

$$(1) + (2):\quad \cos(a + b) + \cos(a - b) = 2\cos a\cos b$$$$(1) - (2):\quad \cos(a + b) - \cos(a - b) = -2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$$$$(3) + (4):\quad \operatorname{sen}(a + b) + \operatorname{sen}(a - b) = 2\operatorname{sen} a\cos b$$$$(3) - (4):\quad \operatorname{sen}(a + b) - \operatorname{sen}(a - b) = 2\operatorname{sen} b\cos a$$

Fórmulas de transformação em produto

Fazendo nas fórmulas de Werner $a + b = p$ e $a - b = q$, portanto $a = \dfrac{p + q}{2}$ e $b = \dfrac{p - q}{2}$, obtemos:

TeoremaTransformação em produto

$$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$$$$\cos p - \cos q = -2\operatorname{sen}\frac{p + q}{2}\operatorname{sen}\frac{p - q}{2}$$$$\operatorname{sen} p + \operatorname{sen} q = 2\operatorname{sen}\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$$$$\operatorname{sen} p - \operatorname{sen} q = 2\operatorname{sen}\frac{p - q}{2}\cos\frac{p + q}{2}$$

PropriedadeSoma e diferença de tangentes

$$\operatorname{tg} p + \operatorname{tg} q = \frac{\operatorname{sen} p}{\cos p} + \frac{\operatorname{sen} q}{\cos q} = \frac{\operatorname{sen} p\cos q + \operatorname{sen} q\cos p}{\cos p\cos q} = \frac{\operatorname{sen}(p + q)}{\cos p\cos q}$$$$\operatorname{tg} p - \operatorname{tg} q = \frac{\operatorname{sen} p\cos q - \operatorname{sen} q\cos p}{\cos p\cos q} = \frac{\operatorname{sen}(p - q)}{\cos p\cos q}$$

ExemploFatorando sen x + cos x

Como $\cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$:

$$\operatorname{sen} x + \cos x = \operatorname{sen} x + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right).$$

Isso explica o gráfico do exercício 61: a soma de seno e cosseno é uma cossenoide de amplitude $\sqrt{2}$, deslocada de $\frac{\pi}{4}$.

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Os exercícios desta seção são os de números 171 a 192 da lista do capítulo.