A partição de conjuntos é um assunto muito importante, principalmente em teoria de probabilidades, integral de Lesbegue, dentre outros. No post anterior vimos relações de equivalência e ela estão diretamente relacionadas com a noção de partição de conjuntos.

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Definição

Definição (Partição) Seja $A$ um conjunto não vazio ($A\neq \emptyset$) e uma família $\mathcal{F}$ de subconjuntos não vazios de $A$. A definição de partição de $A$ ŕ válida, se as seguintes afirmações são verdadeiras:

  • (a) dois elementos quaisquer de $\mathcal{F}$ ou são iguais ou são disjuntos;
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  • (b) a união dos elementos de $\mathcal{F}$ é igual a $A.$
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Exemplos

Exemplo 1: A família $\mathcal{F} = \\{ \\{1\\}, \\{2\\}, \\{3, 4\\} \\}$ é uma partição do conjunto $A = \\{1, 2, 3, 4\\}.$

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Exemplo 2: Seja $A=\mathbb{Z}$, a família $\mathcal{F} = \\{ 3\mathbb{Z}, 3\mathbb{Z} + 1, 3\mathbb{Z} + 2 \\}$ é uma partição do conjunto $A.$

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Exemplo 3: Seja $A=\mathbb{R}$, a família $\mathcal{F} = \\{ (-\infty,-1), [-1,1], (1,+\infty) \\}$ é uma partição do conjunto $A.$

A seguir, temos Richard Dedekind, responsável pelos cortes de Dedeking, construção dos números reais ($\mathbb{R}$).

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Relação de Equivalência determina Partição de Conjuntos

A seguir apresentamos um resultado que mostra como a relação de equivalência determina a partição de um conjunto.

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Teorema (Relação de Equivalência determina Partição de Conjuntos) Se $\mathcal{R}$ é uma relação de equivalência sobre um conjunto não vazio $A$, então $A/\mathcal{R}$ éuma partição de $A.$

Demonstração:

Inicialmentenote que pela definição de partição, temos que mostrar que cada elemento de $A/\mathcal{R}$ é não vazio e que valem as propriedades (a) e (b) da definição.

Para cada $\overline{a} \in A/\mathcal{R}$, como $\mathcal{R}$ é reflexiva, temos que $a \in \overline{a}.$ Desta forma, temos que $\overline{a}\neq \emptyset.$

  • (a) Para cada $\overline{a}$ e $\overline{b}$ em $A/\mathcal{R},$ temos $\overline{a} \cap \overline{b} = \emptyset$ ou $\overline{a} = \overline{b}.$

Agora, suponhamos que $\overline{a} \cap \overline{b} \neq \emptyset$ e seja $x \in \overline{a} \cap \overline{b}$. Então $x \in \overline{a}$ e $x \in \overline{b}$.

Da definição de classes de equivalência, temos que $x \mathcal{R} \overline{a}$ e $x \mathcal{R} \overline{b}$.

Do fato de $\mathcal{R}$ ser simétrica e transitiva, obtemos que $a\mathcal{R} b.$

Das equivalências do teorema do post anterior temos $a = b,$ o que mostra (a).

  • (b) O objetivo agora é mostrar o item (b), isto é:
$$\bigcup_{a \in A}\overline{a} = A$$

Equivalentemente:

$$\bigcup_{a \in A}\overline{a} \subseteq A \quad \text{e} \quad \bigcup_{a \in A}\overline{a} \supseteq A $$

A inclusão $\bigcup_{a \in A}\overline{a} \subseteq A$ é mnostrada com $a \subseteq A$ para cada $a \in A.$

Reciprocamente, seja $x \in A,$ e como $x\mathcal{R}x,$ temos que $x \in \overline{x},$ o que implica que $\bigcup_{a \in A}\overline{a}$

Consequentemente:

$$\bigcup_{a \in A}\overline{a} \supseteq A $$

$\square$

Partição de Conjuntos determina Relação de Equivalência

A seguir apresentamos um resultado que mostra como a partição de um conjunto determina uma relação de equivalência.

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Teorema (Partição de Conjuntos determina Relação de Equivalência) Seja $A$ um conjunto não vazio e $\mathcal{F}$ uma partição de $A,$ então existe uma relação de equivalência $\mathcal{R}$ sobre $A$ tal que $A/\mathcal{R} = \mathcal{F}.$

Demonstração:

Para todo $a, b \in A,$ definimos $\mathcal{R}$ por:

$$a\mathcal{R} b \quad \Longrightarrow \quad \text{ existe } X \in \mathcal{F} \text{ tal que } a, b \in X.$$
  • (Parte 1) Mostrar que $\mathcal{R}$ é uma relação de equivalência, que vamos dividir em 3 items:

(1) Para cada $a \in A,$ desde que $\bigcap \mathcal{F} = A,$ existe um $X \in \mathcal{F}$ tal que $a \in X.$

Logo, $a\mathcal{R}a,$ que representa que $\mathcal{R}$ é reflexiva.

(2) Para $a, b \in A,$ se $a\mathcal{R}b,$ então pela definição de $\mathcal{R},$ existe um elemento $X \in \mathcal{F},$ tal que $a, b \in X,$ o que implica que $b\mathcal{R} a.$

Logo, $\mathcal{R}$ é simétrica.

(3) Se $a, b, c \in A $ são tais que $a\mathcal{R} b$ e $b\mathcal{R} c$, então existem $X, Y \in \mathcal{F}$ tais que $a, b \in X$ e $b, c \in Y .$

Logo, $b \in X \cap Y$ , ou seja, $X \cap Y \neq \emptyset.$

Como $\mathcal{F}$ é uma partição, temos que $X = Y$ e, então $a, c \in X = Y $

Consequentemente $a\mathcal{R} c.$

  • (Parte 2) Mostrar agora que $A/\mathcal{R} = \mathcal{F}.$

Dado $a \in A,$ temos que existe um único $X \in \mathcal{F},$ tal que $a \in X,$ em que a unicidade segue da propriedade (a) valer para $\mathcal{F}.$

Da definição de $\mathcal{R}$ temos que $\overline{a} = X,$ o que implica que $A/\mathcal{R} \subseteq \mathcal{F}.$

Por outro lado, para cada $X \in F,$ com $X 6\neq \emptyset,$ temos que existe $a \in X.$

Portanto $X = \overline{a},$ o que mostra que $A/\mathcal{R} \supseteq \mathcal{F}.$

$\square$

Aplicação

Exemplo 4: Dada a partição $\mathcal{F} = \\{\\{a, b\\}, \\{c\\}, \\{d, e, f\\}\\}$ de $A = \\{a, b, c, d, e, f\\},$ temos a relação de equivalência associada.

$$\mathcal{R} = \\{(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(d, d),(d, e),(d, f),(e, d),(f, d),(e, e),(e, f), (f, e),(f, f)\\}.$$ colecao

Este é o resumo de Relações de Equivalência. Aguardem os próximos posts.