O zero e a posição: números que calculam

Tente multiplicar $\text{XLVII}$ por $\text{XII}$. Sem converter para os nossos algarismos.

É difícil saber até por onde começar. O $\text{X}$ de $\text{XLVII}$ vale dez, mas está antes do $\text{L}$, então é subtraído: $\text{XL}=40$. O $\text{V}$ vale cinco onde quer que esteja. Não existe uma coluna das unidades, nem uma das dezenas, e cada símbolo traz seu valor pendurado no próprio desenho. A mesma conta, escrita como $47\times 12$, se resolve em duas linhas:

E o resultado, em romano, é $\text{DLXIV}$. Os romanos não eram ruins de conta. Eles simplesmente não calculavam com os numerais: calculavam com pedrinhas num ábaco ou numa mesa riscada, e usavam os numerais só para escrever o resultado. A pedrinha, em latim, se chamava calculus. É daí que vem a palavra cálculo.

Um algarismo vale pelo lugar onde está

O sistema que usamos é posicional: o mesmo desenho muda de valor conforme a casa que ocupa. Em $205$, o $2$ vale duzentos; em $25$, vale vinte; em $2$, vale dois.

Em linguagem semiótica, o algarismo $2$ sozinho é um signo incompleto. Quem completa o seu sentido é a posição, e quem garante a posição, quando uma casa está vazia, é o zero. O valor de uma inscrição como $205$ não está em nenhum dos três desenhos, e sim na regra que os organiza:

É por isso que o sistema posicional é um exemplo perfeito de notação ativa. As regras de somar, subtrair, multiplicar e dividir que aprendemos na escola (“vai um”, “empresta um”) só existem porque a escrita põe unidades embaixo de unidades e dezenas embaixo de dezenas. A conta é feita no próprio papel, sem ábaco.

Uma longa viagem até o zero

Os babilônios já escreviam números de forma posicional por volta de 1800 a.C., em base 60 (é por isso que uma hora tem 60 minutos). Mas, durante muitos séculos, eles não tinham um sinal para a casa vazia: $1$ e $60$ podiam ter a mesma cara, e o leitor adivinhava pelo contexto. Só por volta de 300 a.C. aparece nos tabletes um sinal separador para marcar o vazio no meio de um número. Os maias, do outro lado do mundo, também chegaram a um zero, desenhado como uma concha.

Foi na Índia que o zero deixou de ser só um marcador de lugar e virou número. Em 628, o astrônomo Brahmagupta escreveu regras para fazer contas com ele: um número menos ele mesmo dá zero; zero somado a um número dá o próprio número; zero vezes qualquer número dá zero. Os matemáticos de Bagdá adotaram os nove algarismos indianos e o zero, e al-Khwarizmi escreveu, por volta de 825, um livro sobre como calcular com eles. Traduzido para o latim, o livro começava com Dixit Algorizmi, “disse al-Khwarizmi”. O nome do autor virou a palavra algoritmo.

Na Europa cristã, a virada tem data e autor. Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, cresceu entre comerciantes no norte da África, viu os mercadores árabes calculando no papel e voltou para a Itália convencido. Em 1202 publicou o Liber abbaci, o “livro do cálculo”, que abre assim:

As nove figuras dos indianos são estas: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Com essas nove figuras e com este sinal 0, que em árabe se chama zephirum, escreve-se qualquer número que se queira.

— Leonardo de Pisa, Liber abbaci (1202)

O árabe ṣifr (vazio) deu, por um lado, zephirum, zefiro e zero; por outro, cifra, que por muito tempo significou o próprio zero e depois passou a significar qualquer algarismo, ou um código secreto.

Padrões que só a posição mostra

Uma escrita ativa não apenas facilita as contas: ela deixa padrões à vista. Olhe a tabuada do 9:

As dezenas sobem de $0$ a $9$, as unidades descem de $9$ a $0$, e os dois algarismos sempre somam $9$. Para saber $9\times 7$, basta lembrar que a dezena é uma a menos que $7$ (ou seja, $6$) e que a unidade completa o $9$ (ou seja, $3$): $63$. Em numerais romanos, a mesma tabuada é $\text{IX}, \text{XVIII}, \text{XXVII}, \text{XXXVI}, \text{XLV}, \ldots$, e o padrão simplesmente não está lá. O padrão é do número, mas só aparece na escrita que o deixa aparecer.

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