O número $\pi$ vem da geometria do círculo. Os números ímpares vêm da aritmética. Não há nenhum motivo aparente para que se encontrem. Mas se encontram:

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$

Some e subtraia os inversos dos ímpares, alternando os sinais, e o resultado, multiplicado por 4, é $\pi$.

Uma descoberta, três vezes

Leibniz encontrou essa fórmula em 1673, em Paris, quando ainda aprendia matemática com Huygens. Mostrou o resultado ao mestre, que ficou impressionado e o elogiou. Foi a primeira grande descoberta de Leibniz e o que o convenceu de que podia ser matemático.

Ele não foi o primeiro. Em 1671, o escocês James Gregory já tinha encontrado a série do arco tangente, da qual esta é um caso particular. E, cerca de 250 anos antes, o matemático indiano Madhava de Sangamagrama, fundador da escola de Kerala, havia descoberto a mesma série. Os europeus não conheciam esses trabalhos. Por isso hoje ela é chamada de série de Madhava–Leibniz ou de Gregory–Leibniz.

A demonstração

Vamos provar a fórmula com ferramentas de hoje, em três passos.

1. Uma soma geométrica. A soma $1-q+q^2-q^3+\cdots$ de uma progressão geométrica com razão $-q$ tem uma fórmula conhecida. Com $q=t^2$ e parando em $N$ termos, ela fica exata se incluirmos um resto:

$$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots+(-1)^{N-1}t^{2N-2}+\frac{(-1)^Nt^{2N}}{1+t^2}.$$

2. Integrar dos dois lados, de 0 a 1. Do lado esquerdo, a área sob $\dfrac{1}{1+t^2}$ entre 0 e 1 é $\arctan1=\dfrac\pi4$, porque a tangente de $45°$ é 1. Do lado direito, cada potência $t^{2k}$ dá $\dfrac{1}{2k+1}$:

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{N-1}}{2N-1}+R_N.$$

3. O resto vai a zero. Como $1+t^2\ge1$, o resto fica limitado:

$$|R_N|\le\int_0^1t^{2N}\,dt=\frac{1}{2N+1}.$$

Quando $N$ cresce, $\dfrac{1}{2N+1}$ vai a zero, e a soma se aproxima de $\dfrac\pi4$ tanto quanto quisermos.

Bonita, mas lenta

Multiplicando por 4, a soma se aproxima de $\pi$ com erro de no máximo $\dfrac{4}{2N+1}$. Isso é lento:

Termos Soma × 4 Erro máximo garantido
1 4 1,33
2 2,667 0,8
10 3,0418 0,19
100 3,1316 0,02
1000 3,1406 0,002

Com mil termos, ainda erramos na terceira casa decimal. Para dez casas certas seriam necessários bilhões de termos. A série é perfeita para entender $\pi$, e péssima para calculá-lo. Os computadores que hoje calculam trilhões de casas usam outras fórmulas, muito mais rápidas.

Aumente o número de termos. O resultado alterna em torno de π, mas a garantia de erro diminui devagar.

Repare na figura que as somas pulam de um lado para o outro de $\pi$: uma fica acima, a seguinte abaixo. Isso acontece em toda série alternada cujos termos diminuem, e por isso o valor verdadeiro está sempre entre duas somas consecutivas.

Exercício: que erro máximo garantimos com 100 termos?

O limite é $\dfrac{4}{2\cdot100+1}=\dfrac{4}{201}\approx0{,}0199$. É uma garantia; o erro real com 100 termos é cerca de $0{,}01$.

Exercício: quantos termos garantem erro menor que 0,001 para π?

Precisamos de $\dfrac{4}{2N+1}<0{,}001$, ou seja, $2N+1>4000$. Basta $N=2000$ termos.

Fontes: biografia de Leibniz, MacTutor · biografia de James Gregory, MacTutor · biografia de Madhava, MacTutor.

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