二十世纪初，数学家们想从一个唯一的概念，即集合，出发构建整个数学。可是在这种语言里，数 $3$ 是什么？格奥尔格·康托尔谈到过“序数”，也就是度量队列中位置的数：第一、第二、第三，在所有有限的序数之后，还有第一个无穷序数 $\omega$。所缺的是说清这些数作为集合究竟是什么。

1923 年，19 岁的冯·诺依曼发表了一篇短文《论超限数的引入》，给出的答案如此简洁，以至于成了标准定义。

每个数都是它前面那些数的集合

规则只有一条：一个序数就是所有比它小的序数构成的集合。从空无开始：

$$0 = \varnothing,\qquad 1 = \{0\} = \{\varnothing\},\qquad 2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\},$$$$3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}.$$

一般地，一个数的后继就是这个数本身再加上它自己：

$$n + 1 = n \cup \{n\}.$$

这个定义白送了三样东西：

  • 数 $n$ 恰好有 $n$ 个元素：$3$ 的元素是 $0$、$1$ 和 $2$。数到 $n$，就是把 $n$ 的元素过一遍。
  • “小于”变成了“属于”：$m < n$ 意味着 $m \in n$。同时也意味着“包含于”：$2 \subset 3$。
  • 一切都从空集造出来。不必假定数的存在：它们是用花括号制造出来的。

无穷之外

同一条规则继续适用。全体自然数的集合

$$\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

是第一个无穷序数：它是所有比它小的序数构成的集合，和前面那些完全一样。接下来是 $\omega + 1 = \omega \cup \{\omega\}$，然后是 $\omega + 2$，依此类推，直到 $\omega \cdot 2$、$\omega^2$、$\omega^\omega$……康托尔描述过这座阶梯；冯·诺依曼给每一级台阶都提供了具体的构造。

两年后，冯·诺依曼在博士论文中提出了一套集合论公理系统，区分了集合和类，即大到不能成为集合的汇集，比如“所有集合”。经过保罗·贝尔奈斯和库尔特·哥德尔的调整，这个系统被称为 NBG，至今仍是奠定数学基础最常用的两种方式之一。

练习：写出 4

只用前面的数写出序数 $4$，然后数一数全部用 $\varnothing$ 写出时出现了多少个左花括号 $\{$。

$4 = \{0, 1, 2, 3\}$。只用 $\varnothing$ 书写时，每个数 $n$ 用一个最外层的花括号，再加上它各个元素的花括号。记 $c(n)$ 为左花括号的个数，则 $c(0) = 0$，$c(n+1) = 1 + c(0) + c(1) + \cdots + c(n)$。于是 $c(1) = 1$，$c(2) = 2$，$c(3) = 4$，$c(4) = 8$：花括号的个数每一步翻一倍，$c(n) = 2^{n-1}$。

练习：小于就是属于

验证 $1 \in 3$ 且 $1 \subset 3$，但 $3 \notin 1$。

$3 = \{0, 1, 2\}$ 以 $1$ 为元素，所以 $1 \in 3$。而 $1 = \{0\}$ 唯一的元素 $0$ 也在 $3$ 中，所以 $1 \subset 3$。但 $1 = \{0\}$ 的元素中没有 $3$，所以 $3 \notin 1$。这正是应该的，因为 $3$ 并不小于 $1$。

来源： John von Neumann, “Zur Einführung der transfiniten Zahlen”, Acta Sci. Math. Szeged（1923）· Jean van Heijenoort（编）, From Frege to Gödel（1967）· George Pólya, The Pólya Picture Album（1987）。

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