Euler's Eyes
2026-10-11
Incentro — bissetrizes internas
As três bissetrizes internas de um triângulo se encontram no incentro, o centro do maior círculo que cabe dentro dele.
Quem descobriu
A construção está na proposição IV.4 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): “inscrever um círculo num triângulo dado”. Euclides traça as bissetrizes de dois ângulos, toma o ponto de encontro e mostra que ele está à mesma distância dos três lados. Como a terceira bissetriz também passa por esse ponto, as três são concorrentes. Uma fórmula famosa liga o raio desse círculo à área: está na Métrica de Heron de Alexandria (século I d.C.), junto com sua fórmula para a área a partir dos três lados.
A história
O livro IV dos Elementos é dedicado a inscrever e circunscrever figuras em círculos. O incentro aparece ali não como um ponto curioso, mas como solução de um problema prático de construção: onde pôr a ponta do compasso para desenhar o círculo que toca os três lados.
Heron mostrou que a área de um triângulo é igual ao raio do círculo inscrito multiplicado pela metade do perímetro. A ideia é dividir o triângulo em três triângulos com vértice no incentro, cada um com altura igual ao raio.
No dia a dia
- Maior mesa redonda. Numa sala ou num terreno triangular, a maior mesa, piscina ou canteiro redondo que cabe tem centro no incentro.
- Rotatórias. Num cruzamento de três vias em forma de triângulo, o ponto equidistante das três ruas é o incentro.
- Corte de chapas. Para cortar o maior disco possível de uma sobra triangular de metal ou madeira, o centro do corte é o incentro.
- Ponto de vigia. Um posto à mesma distância das três margens de um lago triangular fica no incentro.
Fontes: Elementos, proposição IV.4 · Heron de Alexandria (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaConcorrência das bissetrizes internas
As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto, que está a igual distância dos lados:
$$\overline{AS_1} \cap \overline{BS_2} \cap \overline{CS_3} = \lbrace S \rbrace, \qquad d_{S,a} = d_{S,b} = d_{S,c}.$$Demonstração. Seja $S$ o encontro de $\overline{BS_2}$ e $\overline{CS_3}$. Como $S$ está na bissetriz de $\hat{B}$, $d_{S,a} = d_{S,c}$; como está na de $\hat{C}$, $d_{S,a} = d_{S,b}$. Logo $d_{S,b} = d_{S,c}$, e $S$ está também na bissetriz de $\hat{A}$ (os pontos internos equidistantes dos lados de um ângulo estão na bissetriz).
DefiniçãoIncentro
O ponto de encontro das três bissetrizes internas é o incentro. Ele é o centro da circunferência inscrita no triângulo (que tangencia os três lados).