Se você sabe como $u$ muda e como $v$ muda, como muda o produto $uv$? O palpite natural é multiplicar as mudanças: $d(uv)=du\cdot dv$. Parece tão simétrico, tão elegante…

Leibniz teve o mesmo palpite.

Leibniz testa e erra

No mesmo manuscrito de 11 de novembro de 1675 em que começou a usar a letra $d$, Leibniz se perguntou se $d(xy)$ seria igual a $dx\,dy$, e se $d\!\left(\frac xy\right)$ seria igual a $\dfrac{dx}{dy}$. Em vez de confiar na elegância, testou com um exemplo e descobriu que não. Dias depois, encontrou a regra certa.

Essa é uma lição importante: até os inventores do cálculo erravam, e o que os salvava era conferir.

Faça o teste você mesmo. Com $u=x$ e $v=x$, o produto é $x^2$, cuja derivada é $2x$. Mas o produto das derivadas é $1\cdot1=1$. Não bate.

O retângulo que cresce

Pense em $u$ e $v$ como os lados de um retângulo, e em $uv$ como sua área. Agora aumente um pouquinho os dois lados: $u$ vira $u+du$ e $v$ vira $v+dv$.

A área nova é $(u+du)(v+dv)$. O que ela ganhou?

$$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$

Geometricamente, o retângulo ganhou três pedaços: uma faixa comprida de área $v\,du$, outra faixa comprida de área $u\,dv$ e um quadradinho no canto de área $du\,dv$.

O quadradinho é o produto de duas quantidades infinitamente pequenas, e portanto infinitamente menor que as faixas. Leibniz o desprezou e ficou com

$$d(uv)=u\,dv+v\,du.$$

O palpite $du\,dv$ era justamente o pedaço que não importa.

A versão com limites

Hoje escrevemos $p(x)=f(x)\,g(x)$ e dividimos o ganho por um incremento $h\ne0$:

$$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$

Quando $h\to0$, as duas primeiras parcelas tendem a $gf'$ e $fg'$. A última tende a zero, porque $\dfrac{\Delta f}{h}$ se aproxima de $f'$, que é um número fixo, enquanto $\Delta g$ vai a zero. Portanto,

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Exemplo

Para $f=x^2$ e $g=x+1$:

$$(fg)'=2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x.$$

Confira por outro caminho: $x^2(x+1)=x^3+x^2$, cuja derivada é $3x^2+2x$. Em $x=1$, o produto vale $2$ e a derivada vale $5$. A parcela $f'g$ contribui com $4$ e a parcela $fg'$ com $1$.

f(x) = x²; g(x) = x + 1; p(x) = f(x)g(x).

Mude x e compare as parcelas f′g e fg′. A soma das duas é a derivada do produto; o produto das derivadas é outra coisa.

A regra de Leibniz

Leibniz foi além e descobriu como derivar um produto várias vezes. Para a segunda derivada:

$$(uv)''=u''v+2u'v'+uv''.$$

Os coeficientes $1,2,1$ são os mesmos de $(a+b)^2$. Para a terceira derivada, aparecem $1,3,3,1$, como em $(a+b)^3$. Em geral, os coeficientes são os do binômio, os mesmos do triângulo de Pascal. Essa fórmula se chama até hoje regra de Leibniz.

Exercício: derive x(x² + 1)

Com $f=x$ e $g=x^2+1$: $(fg)'=1\cdot(x^2+1)+x\cdot2x=3x^2+1$. Desenvolvendo antes, $x^3+x$ tem a mesma derivada.

Exercício: um retângulo tem lados u = 3 cm e v = 5 cm. Se u cresce 0,1 cm e v cresce 0,2 cm, quanto a área cresce?

Pela regra, $d(uv)\approx v\,du+u\,dv=5\cdot0{,}1+3\cdot0{,}2=1{,}1$ cm². O valor exato é $3{,}1\cdot5{,}2-15=1{,}12$; a diferença, $0{,}02$, é o quadradinho $du\,dv=0{,}1\cdot0{,}2$.

Fontes: Leibniz e o cálculo, MacTutor.

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