FUVEST 2022 – 2ª fase: Matemática resolvida

Fonte: FUVEST – prova da 2ª fase, 2º dia (caderno com todas as questões do dia), questões M01 a M06. A FUVEST não publica gabarito da 2ª fase; as resoluções são nossas.

No 2º dia da 2ª fase da FUVEST 2022 cada candidato recebeu 12 questões discursivas das disciplinas específicas da sua carreira. Matemática teve 6 questões (M01 a M06). Quem fez só 4 questões de matemática recebeu M01 a M04; quem fez só 3, M01 a M03. Cada resolução abaixo foi conferida por um segundo caminho (outro método ou conta no computador).

Gabarito

Questão M01: Sequência “3n + 1” (recorrência)

Enunciado

Uma sequência de números naturais é construída da seguinte forma: seu primeiro termo $t_1$ é escolhido como sendo um número natural qualquer. Se $t_1$ for par, então $t_2 = \frac{t_1}{2}$ e, se $t_1$ for ímpar, então $t_2 = 3t_1 + 1$. Os termos seguintes $t_n$ são obtidos de acordo com essa mesma regra. Por exemplo, se $t_1 = 3$, então $t_2 = 10$, $t_3 = 5$, $t_4 = 16$ e assim por diante.

Dessa forma, a partir de $t_1 \in \mathbb{N}$, para cada $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$, a sequência $t_n$ é definida como

a) Para $t_1 = 22$, determine $t_4$.

b) Determine todos os possíveis $t_1$ para os quais $t_4 = 10$.

c) Para $t_1 = 26$, determine $t_{2022}$.

Resolução

a) Basta aplicar a regra três vezes:

• $t_1 = 22$ é par, então $t_2 = 11$;
• $t_2 = 11$ é ímpar, então $t_3 = 3 \cdot 11 + 1 = 34$;
• $t_3 = 34$ é par, então $t_4 = 17$.

Resposta (a): $t_4 = 17$.

b) Vamos andar para trás. Se um termo vale $k$, o termo anterior pode ser:

• $2k$ (se o anterior era par, ele foi dividido por 2), ou
• $\frac{k-1}{3}$, mas só se esse número for natural e ímpar (se o anterior era ímpar, ele virou $3 \cdot (\text{anterior}) + 1$).

1. De $t_4 = 10$ para $t_3$: $2 \cdot 10 = 20$, ou $\frac{10-1}{3} = 3$ (ímpar, vale). Então $t_3 \in$ {20, 3}.

2. De $t_3$ para $t_2$:

• $t_3 = 20$: $t_2 = 40$, ou $\frac{19}{3}$ (não é inteiro). Só $t_2 = 40$.
• $t_3 = 3$: $t_2 = 6$, ou $\frac{2}{3}$ (não é inteiro). Só $t_2 = 6$.

3. De $t_2$ para $t_1$:

• $t_2 = 40$: $t_1 = 80$, ou $\frac{39}{3} = 13$ (ímpar, vale).
• $t_2 = 6$: $t_1 = 12$, ou $\frac{5}{3}$ (não é inteiro).

Conferindo para a frente: $13 \to 40 \to 20 \to 10$; $80 \to 40 \to 20 \to 10$; $12 \to 6 \to 3 \to 10$. ✓

Resposta (b): $t_1 = 12$, $t_1 = 13$ ou $t_1 = 80$.

c) Calculando os primeiros termos a partir de $t_1 = 26$:

A partir de $n = 9$ a sequência entra no ciclo $4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots$, que se repete a cada 3 termos. Como $t_9 = 4$, $t_{12} = 4$, $t_{15} = 4$, …, vale $t_n = 4$ sempre que $n \ge 9$ e $n$ é múltiplo de 3.

Como $2022 = 3 \cdot 674$ é múltiplo de 3 (a soma dos algarismos é 6),

Resposta (c): $t_{2022} = 4$.

Conferência: calculamos por computador os 2022 primeiros termos a partir de 26 e obtivemos $t_{2022} = 4$; também testamos todos os $t_1$ de 1 a 10 000, e só 12, 13 e 80 dão $t_4 = 10$.

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Questão M02: Função definida por partes e área de um retângulo

Enunciado

Uma função $f$ está definida no intervalo $[-2, 9]$ da seguinte forma: para $x \in [-2, 2]$, $f$ leva $x$ em $x^2$ e, no restante do domínio, o seu gráfico é formado por dois segmentos de reta conforme mostra a figura.

a) Apresente todos os intervalos do domínio da função $f$ nos quais ela é crescente.

b) Determine os valores de $f$ nos pontos $x = -\frac{3}{2}$, $x = \frac{7}{2}$ e $x = 8$.

c) Para cada valor de $x \in \left]0, 9\right[$, considere o retângulo $R_x$ com vértices nos pontos $A = (x, 0)$, $B = (9, 0)$, $C = (9, f(x))$ e $D = (x, f(x))$. Escreva a expressão da área de $R_x$, em função de $x$, para $x$ no intervalo $\left]0, 9\right[$.

Resolução

Lei de $f$. Pela figura, o primeiro segmento vai de $(2, 4)$ a $(5, 4)$ (horizontal) e o segundo vai de $(5, 4)$ a $(9, 6)$, com inclinação $\frac{6-4}{9-5} = \frac{1}{2}$, ou seja, $y = 4 + \frac{x-5}{2} = \frac{x+3}{2}$. Então

a) A parábola $y = x^2$ decresce em $[-2, 0]$ e cresce em $[0, 2]$. Em $[2, 5]$ a função é constante e em $[5, 9]$ é uma reta de inclinação positiva.

Resposta (a): $f$ é crescente em $[0, 2]$ e em $[5, 9]$. (No intervalo $[2, 5]$ ela é constante. Se “crescente” for entendido no sentido amplo, de “não decrescente”, o intervalo seria todo o $[0, 9]$.)

b)

• $x = -\frac{3}{2} \in [-2, 2]$: $f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
• $x = \frac{7}{2} = 3{,}5 \in [2, 5]$: $f\left(\frac{7}{2}\right) = 4$.
• $x = 8 \in [5, 9]$: $f(8) = \frac{8+3}{2} = \frac{11}{2}$.

Resposta (b): $\frac{9}{4}$, $4$ e $\frac{11}{2}$.

c) O retângulo $R_x$ tem base $AB = 9 - x$ (no eixo $x$) e altura $AD = f(x)$ (que é sempre $\ge 0$). Logo, a área é $(9 - x) \cdot f(x)$, e a expressão muda conforme o trecho de $f$:

Resposta (c): a expressão acima.

Conferência: nos pontos de emenda as fórmulas dão o mesmo valor, como deveriam: em $x = 2$, $9 \cdot 4 - 8 = 28 = 36 - 8$; em $x = 5$, $36 - 20 = 16 = \frac{-25 + 30 + 27}{2}$. Também comparamos, por computador, as fórmulas com $(9 - x) \cdot f(x)$ lido diretamente do gráfico em vários pontos.

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Questão M03: Pontos com coordenadas de 3 a 9 (contagem e probabilidade)

Enunciado

Considere o conjunto $C$ de pontos do plano cartesiano da forma $(m, n)$, com $m$ e $n$ pertencentes a {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

a) Apresente todos os pontos $(m, n)$ de $C$ para os quais o produto $m \cdot n$ é maior do que 60.

b) Sorteando-se um ponto $(m, n)$ de $C$, com iguais probabilidades para todos os pontos, qual é a probabilidade de que a fração $\frac{m}{n}$ seja redutível?

c) Sorteando-se, com iguais probabilidades, dois pontos distintos de $C$, qual é a probabilidade de que a distância entre eles seja igual a $\sqrt{13}$?

Note e Adote: Uma fração $\frac{m}{n}$ é redutível quando $m$ e $n$ possuem um divisor natural em comum, além do 1.

Resolução

O conjunto $C$ tem $7 \cdot 7 = 49$ pontos.

a) Para $m \cdot n > 60$ os dois números precisam ser grandes. Com $m = 7$: $7 \cdot 9 = 63$ serve, mas $7 \cdot 8 = 56$ não. Com $m = 8$: $8 \cdot 8 = 64$ e $8 \cdot 9 = 72$ servem, $8 \cdot 7 = 56$ não. Com $m = 9$: $9 \cdot 7 = 63$, $9 \cdot 8 = 72$ e $9 \cdot 9 = 81$ servem, $9 \cdot 6 = 54$ não. Com $m \le 6$, o maior produto é $6 \cdot 9 = 54$.

Resposta (a): $(7, 9)$, $(8, 8)$, $(8, 9)$, $(9, 7)$, $(9, 8)$ e $(9, 9)$.

b) A fração é redutível quando $m$ e $n$ têm um fator primo em comum. Os primos possíveis são 2, 3, 5 e 7:

• ambos pares ({4, 6, 8}): $3 \cdot 3 = 9$ pontos;
• ambos múltiplos de 3 ({3, 6, 9}): $3 \cdot 3 = 9$ pontos;
• ambos múltiplos de 5: só $(5, 5)$, 1 ponto;
• ambos múltiplos de 7: só $(7, 7)$, 1 ponto.

O ponto $(6, 6)$ foi contado duas vezes (é par e múltiplo de 3); nenhum outro se repete. Total: $9 + 9 + 1 + 1 - 1 = 19$ pontos.

Resposta (b): $\frac{19}{49}$.

Conferência pelo complementar: os pares com $\text{mdc}(m, n) = 1$ são 30 (contagem por computador), e $49 - 30 = 19$. ✓

c) 1. Total de pares de pontos distintos:

2. Quando a distância é $\sqrt{13}$? Se as diferenças das coordenadas são $\Delta m$ e $\Delta n$ (inteiros), precisamos $(\Delta m)^2 + (\Delta n)^2 = 13$. A única forma de escrever 13 como soma de dois quadrados é $4 + 9$, então $\lbrace |\Delta m|, |\Delta n| \rbrace = \lbrace 2, 3 \rbrace$.

3. Contando os pares. Coordenadas vão de 3 a 9 (7 valores).

• $|\Delta m| = 2$, $|\Delta n| = 3$, com os dois deslocamentos “para cima e para a direita”: o ponto de partida tem $m$ entre 3 e 7 (5 opções) e $n$ entre 3 e 6 (4 opções): 20 pares. Com deslocamento “para baixo e para a direita”: mais 20.
• $|\Delta m| = 3$, $|\Delta n| = 2$: da mesma forma, $20 + 20 = 40$.

Total: 80 pares.

Resposta (c): $\frac{10}{147}$.

Conferência: uma contagem por computador de todos os 1176 pares deu exatamente 80 pares à distância $\sqrt{13}$.

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Questão M04: Sólido obtido cortando os cantos de uma pirâmide

Enunciado

Uma pirâmide $\mathbf{P}$ tem base quadrada $A_0B_0C_0D_0$ de lado medindo 1 u.m., apoiada em um plano $\Pi$, e quatro faces que são triângulos equiláteros, ligando a base ao ápice $E_0$ de $\mathbf{P}$. Os dezesseis pontos $A_1$, $A_2$, $A_3$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $C_1$, $C_2$, $C_3$, $D_1$, $D_2$, $D_3$, $E_1$, $E_2$, $E_3$ e $E_4$, indicados na figura, dividem cada aresta da pirâmide em três segmentos de igual medida.

Um novo sólido $\mathbf{S}$, em destaque na figura, é produzido subtraindo-se de $\mathbf{P}$ as cinco pirâmides $A_0A_1A_2A_3$, $B_0B_1B_2B_3$, $C_0C_1C_2C_3$, $D_0D_1D_2D_3$ e $E_0E_1E_2E_3E_4$. Determine:

a) o perímetro da face de $\mathbf{S}$ que se apoia em $\Pi$, cujos vértices são $A_1$, $A_3$, $B_1$, $B_3$, $C_1$, $C_3$, $D_1$ e $D_3$.

b) o volume de $\mathbf{S}$.

c) a distância entre $A_1$ e $E_2$.

Resolução

Todas as 8 arestas de $\mathbf{P}$ medem 1 (a base é um quadrado de lado 1 e as faces laterais são triângulos equiláteros), e cada uma foi dividida em três partes de medida $\frac{1}{3}$.

a) A face de $\mathbf{S}$ no plano $\Pi$ é o quadrado da base com os 4 cantos cortados: um octógono.

• Em cada lado do quadrado sobra o terço do meio, por exemplo $A_3B_1 = \frac{1}{3}$ (4 lados assim).
• Cada canto cortado é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de catetos $\frac{1}{3}$, por exemplo $A_1A_3 = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ (4 lados assim).

Resposta (a): $\frac{4 + 4\sqrt{2}}{3}$ u.m. $\approx 3{,}22$ u.m.

b) 1. Volume de $\mathbf{P}$. O pé da altura é o centro do quadrado, que está a meia diagonal, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, de cada vértice. Com a aresta lateral 1, por Pitágoras:

2. Pirâmide do topo, $E_0E_1E_2E_3E_4$. É semelhante a $\mathbf{P}$ com razão $\frac{1}{3}$, então seu volume é $\left(\frac{1}{3}\right)^3 V_{\mathbf{P}} = \frac{V_{\mathbf{P}}}{27}$.

3. Pirâmides dos cantos da base, como $A_0A_1A_2A_3$. O plano que passa por $B_0$, $D_0$ e $E_0$ corta $\mathbf{P}$ ao meio; o tetraedro $A_0B_0D_0E_0$ tem volume $\frac{V_{\mathbf{P}}}{2}$. O tetraedro $A_0A_1A_2A_3$ tem as três arestas que saem de $A_0$ iguais a $\frac{1}{3}$ das de $A_0B_0D_0E_0$ (nas mesmas direções), então é semelhante a ele com razão $\frac{1}{3}$:

São 4 cantos iguais: juntos somam $\frac{4}{27} \cdot \frac{V_{\mathbf{P}}}{2} = \frac{2V_{\mathbf{P}}}{27}$.

4. Volume de $\mathbf{S}$.

Resposta (b): $V_{\mathbf{S}} = \frac{4\sqrt{2}}{27}$ u.v. $\approx 0{,}210$ u.v.

c) Vamos usar coordenadas. Pela figura, $A_1$ está na aresta $A_0D_0$ e $E_2$ na aresta $E_0B_0$. Tomando

temos:

• $A_1$ a $\frac{1}{3}$ de $A_0$ em direção a $D_0$: $A_1 = \left(0, \frac{1}{3}, 0\right)$;
• $E_2$ a $\frac{1}{3}$ de $E_0$ em direção a $B_0$: $E_2 = E_0 + \frac{1}{3}(B_0 - E_0) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

Então

Resposta (c): $A_1E_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$ u.m. $\approx 0{,}816$ u.m.

Conferência: com as mesmas coordenadas, calculamos por computador os volumes dos tetraedros (pelo determinante) e obtivemos de novo $V_{\mathbf{S}} = \frac{4\sqrt{2}}{27} \approx 0{,}2095$ e o perímetro $\approx 3{,}2190$. Para o item c, outro jeito de ver: $A_1$ e $E_2$ estão no mesmo plano vertical $y = \frac{1}{3}$. Nesse plano, a distância horizontal entre eles é $\frac{2}{3}$ e a diferença de altura é $\frac{2}{3} h = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ($E_2$ está a $\frac{2}{3}$ do caminho entre a base e o ápice). Por Pitágoras, $\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. ✓

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Questão M05: Circunferência e parábolas com 3 pontos em comum

Enunciado

Considere, no plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto $(0, 3)$ e com raio 2 e, para cada $a \in \mathbb{R}$, $a \ne 0$, a parábola cuja equação é $y = ax^2 + 1$.

a) Para $a = -1$, encontre o ponto comum entre a circunferência e a parábola.

b) Para $a = 1$, apresente 3 pontos em comum entre a circunferência e a parábola.

c) Encontre todos os valores de $a$ para os quais a circunferência e a parábola possuam exatamente 3 pontos em comum.

Resolução

Equação geral. A circunferência é $x^2 + (y - 3)^2 = 4$ e a parábola dá $x^2 = \frac{y - 1}{a}$. Substituindo $x^2$ na circunferência:

Como $(y-3)^2 - 4 = (y - 3 - 2)(y - 3 + 2) = (y - 5)(y - 1)$, a equação fatora:

Cada valor de $y$ só gera ponto se $x^2 = \frac{y-1}{a} \ge 0$.

• $y = 1$ dá $x^2 = 0$: o ponto $(0, 1)$, que é o ponto mais baixo da circunferência e o vértice de todas as parábolas.
• $y = 5 - \frac{1}{a}$ dá $x^2 = \frac{4 - \frac{1}{a}}{a} = \frac{4a - 1}{a^2}$.

a) $a = -1$: $y = 1$ ou $y = 5 + 1 = 6$. Para $y = 6$, $x^2 = \frac{6-1}{-1} = -5 < 0$: não há ponto. (De fato, $y = 6$ está acima da circunferência, que vai de $y = 1$ a $y = 5$.) Sobra $y = 1$, $x = 0$.

Resposta (a): $(0, 1)$.

b) $a = 1$: $y = 1$ ou $y = 5 - 1 = 4$. Para $y = 4$, $x^2 = 3$, $x = \pm\sqrt{3}$.

Conferindo $(\sqrt{3}, 4)$: na circunferência, $3 + (4-3)^2 = 4$ ✓; na parábola, $1 \cdot 3 + 1 = 4$ ✓.

Resposta (b): $(0, 1)$, $(\sqrt{3}, 4)$ e $(-\sqrt{3}, 4)$.

c) O ponto $(0, 1)$ é sempre comum. Para haver exatamente 3 pontos, a segunda raiz precisa dar dois pontos novos, $(\pm x, y)$ com $x \ne 0$, isto é,

Se $a = \frac{1}{4}$, a segunda raiz é $y = 5 - 4 = 1$ de novo, e só há o ponto $(0, 1)$. Se $a < \frac{1}{4}$ (com $a \ne 0$), $x^2 < 0$ e também só há o ponto $(0, 1)$. Nunca há 2 ou 4 pontos.

Resposta (c): $a > \frac{1}{4}$.

Conferência: por computador, parametrizamos a circunferência por $(2\cos\theta, 3 + 2\sin\theta)$ e contamos os pontos em que ela cruza a parábola para vários valores de $a$ (por exemplo $-1$; $0{,}1$; $0{,}2$; $0{,}3$; $1$; $5$): obtivemos 1 ponto para $a \le 0{,}2$ e 3 pontos para $a \ge 0{,}3$, de acordo com $a > \frac{1}{4}$.

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Questão M06: Pacotes de latas de ervilha e milho (contagem)

Enunciado

Uma empresa distribuidora de alimentos tem latas de ervilha (E) e latas de milho (M), em dois pesos, 1 kg e 2kg, totalizando 4 (quatro) tipos de latas: E1 e E2 (ervilha, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente) e M1 e M2 (milho, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente). Essas latas são agrupadas em pacotes para envio aos comerciantes. Dois pacotes de latas são considerados iguais se contiverem a mesma quantidade de latas de cada tipo, independentemente da maneira como são organizadas no pacote.

a) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1 e E2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 tipo dessas latas.

b) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1, E2 e M1? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 ou 2 tipos dessas latas.

c) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 20kg (vinte quilos) podem ser montados usando-se latas dos tipos E1, E2, M1 e M2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1, 2 ou 3 tipos dessas latas.

Resolução

Um pacote fica determinado pela quantidade de latas de cada tipo. Sejam $e_1$, $e_2$, $m_1$ e $m_2$ essas quantidades (inteiros $\ge 0$). O peso é $e_1 + 2e_2 + m_1 + 2m_2$.

a) Queremos $e_1 + 2e_2 = 200$. Escolhido $e_2$, o valor $e_1 = 200 - 2e_2$ fica determinado, e precisa ser $\ge 0$: $e_2$ pode ser $0, 1, 2, \ldots, 100$.

Resposta (a): 101 pacotes.

b) Queremos $e_1 + m_1 + 2e_2 = 200$. Fixado $e_2 = k$ ($0 \le k \le 100$), sobra $e_1 + m_1 = 200 - 2k$, que tem $201 - 2k$ soluções ($e_1$ de 0 a $200 - 2k$). Somando:

É a soma dos 101 primeiros ímpares, que vale $101^2$:

Resposta (b): 10 201 pacotes.

c) Queremos $(e_1 + m_1) + 2(e_2 + m_2) = 20$. Seja $k = e_2 + m_2$ o número de latas de 2 kg ($0 \le k \le 10$).

• $e_2 + m_2 = k$ tem $k + 1$ soluções;
• $e_1 + m_1 = 20 - 2k$ tem $21 - 2k$ soluções.

Para cada $k$ há $(k + 1)(21 - 2k)$ pacotes:

Soma: $21 + 38 + 51 + 60 + 65 + 66 + 63 + 56 + 45 + 30 + 11 = 506$.

Resposta (c): 506 pacotes.

Conferência: uma contagem por computador, testando todas as quantidades possíveis de cada tipo de lata, deu 101, 10 201 e 506 pacotes para os itens a, b e c.

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