A palavra leviano vem de leve. Um homem leviano é leve no sentido de não pesar as consequências do que faz. Quem lê a palavra num poema pode ouvir as duas coisas ao mesmo tempo: a leveza e a leviandade. Os antigos textos deste site a usavam como exemplo de palavra “semioticamente ativa”: a palavra é uma só, os caminhos de leitura são dois, e é justamente isso que a torna rica.

Na matemática, acontece algo parecido com sinais muito mais humildes. Veja quantos papéis faz um simples traço horizontal:

$$12-5,\qquad -5,\qquad -(a+b),\qquad -x.$$

No primeiro, o traço é uma operação entre dois números: tire $5$ de $12$. No segundo, faz parte do nome de um número, o negativo de cinco. No terceiro, diz “tome o oposto de tudo o que está nos parênteses”. No quarto, diz “o oposto de $x$”, que pode ser positivo, se $x$ for negativo. O desenho é o mesmo; o que muda é o lugar que ele ocupa e os vizinhos que tem. Para ler um sinal, não basta olhar para ele.

É disso que trata a semiótica, o estudo dos signos: como uma coisa, para alguém, passa a significar outra.

Saussure: o significante e o significado

O suíço Ferdinand de Saussure (1857–1913) dava aulas de linguística em Genebra e nunca escreveu o livro que o tornou famoso. Depois da sua morte, dois colegas juntaram as anotações dos alunos e publicaram, em 1916, o Curso de linguística geral.

Ferdinand de Saussure (1857–1913), linguista suíço.
Ferdinand de Saussure (1857–1913), linguista suíço.Wikimedia Commons · domínio público

Para Saussure, um signo tem duas faces inseparáveis, como os dois lados de uma folha de papel. De um lado, o significante: a forma que se ouve ou se vê, como o som “ár-vo-re” ou as letras á-r-v-o-r-e. Do outro, o significado: o conceito que essa forma evoca. E a ligação entre os dois não tem nenhuma razão natural:

O laço que une o significante ao significado é arbitrário.

— Ferdinand de Saussure, Curso de linguística geral (1916)

Nada no som “árvore” lembra uma árvore; em inglês ela se chama tree, em japonês ki. O mesmo vale para quase todos os sinais matemáticos. O $+$ não se parece com uma soma; o $7$ não tem sete de nada. Recorde até tentou fazer o $=$ parecido com a igualdade, como vimos no capítulo 1, mas ninguém precisa saber disso para usá-lo.

Saussure insistia num segundo ponto, ainda mais importante para a matemática: um signo vale também pela diferença em relação aos outros signos do sistema. O $6$ significa seis em parte porque não é o $5$ nem o $7$; o $<$ significa “menor” porque se opõe ao $>$. Um signo isolado, fora de um sistema, não significa quase nada.

Arbitrário, mas não livre

Arbitrário não quer dizer que cada um usa como quiser. A comunidade poderia ter escolhido outro sinal para a soma, mas, uma vez que escolheu o $+$, ninguém pode trocá-lo no meio de uma conta sem avisar. A liberdade está na origem da convenção; o uso dela exige disciplina. É por isso que um livro de matemática começa sempre definindo os seus sinais, e é por isso que uma notação nova só pega quando muita gente aprende a lê-la do mesmo jeito.

Sintaxe, semântica e pragmática

Em 1938, o filósofo norte-americano Charles Morris propôs dividir o estudo dos signos em três partes, uma divisão que os antigos textos deste site também usavam:

  • Sintaxe: as relações dos signos entre si. Quais combinações são bem formadas? $3+\times4$ não é; $3+4\times2$ é, e as regras dizem que a multiplicação vem primeiro.
  • Semântica: a relação dos signos com aquilo que representam. A que objeto $\pi$ se refere? À razão entre a circunferência e o diâmetro, $3{,}14159\ldots$
  • Pragmática: a relação dos signos com quem os usa. O que o professor quer quando escreve $x^2-5x+6=0$ no quadro? Provavelmente que você ache as soluções, não que admire a equação.

Aplicada à letra $x$, a divisão de Morris fica clara. Sintaticamente, $x$ ocupa um lugar de número em qualquer expressão. Semanticamente, pode ser uma incógnita (em $x+1=4$), uma variável que percorre um conjunto (em $f(x)=x^2$) ou uma coordenada (no eixo dos $x$). Pragmaticamente, “ache $x$” e “seja $x$ um número qualquer” pedem atitudes opostas: no primeiro caso, procurar; no segundo, não procurar nada, apenas raciocinar em geral.

Os três níveis aparecem juntos o tempo todo, e boa parte das dificuldades em matemática nasce quando um deles falha. O aluno que lê $-3^2$ como $9$ errou na sintaxe: a potência vem antes do sinal de menos, e $-3^2=-(3^2)=-9$. O aluno que acha que $\sqrt{9}$ pode ser $-3$ errou na semântica, como veremos mais adiante. O aluno que resolve a equação quando a pergunta era “quantas soluções ela tem?” errou na pragmática.

Exercício: os papéis do menos

Em $f(x-h)-f(x)$ há dois traços. O de dentro dos parênteses é uma operação: tira $h$ de $x$ antes de aplicar $f$. O de fora também é uma operação, mas entre dois valores da função. Já em $-x^2$ o traço indica o oposto, aplicado depois da potência: para $x=3$, $-x^2=-9$, enquanto $(-x)^2=9$.

Exercício: o mesmo x, três leituras

Em $2x+1=7$, $x$ é uma incógnita, e a pergunta é qual valor torna a igualdade verdadeira ($x=3$). Em $g(x)=2x+1$, $x$ é uma variável: não há nada a descobrir, só uma regra que vale para cada $x$. Em “a reta $2x+1=y$ corta o eixo dos $x$ em $-\tfrac12$”, o $x$ é uma coordenada e também dá nome a um eixo. A sintaxe é parecida nas três escritas; a semântica e a pragmática mudam.

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