No fim do século XVIII, o cálculo funcionava muito bem e ninguém sabia explicar direito por quê. Os $dx$ de Leibniz eram quantidades “infinitamente pequenas”: às vezes eram tratadas como se fossem diferentes de zero, para poder dividir por elas, e logo depois como se fossem zero, para poder desprezá-las. O bispo Berkeley tinha zombado disso em 1734, chamando-as de “fantasmas de quantidades mortas”.

Lagrange se incomodava com isso. Em 1797, publicou um livro com um subtítulo que é um programa inteiro:

Contendo os princípios do cálculo diferencial, livres de toda consideração de infinitamente pequenos, de evanescentes, de limites e de fluxões, e reduzidos à análise algébrica das quantidades finitas.

— Joseph-Louis Lagrange, Teoria das funções analíticas (1797)

A função derivada

A ideia de Lagrange era que toda função razoável pode ser desenvolvida numa série de potências. Se você der um acréscimo $i$ à variável $x$, então

$$f(x+i)=f(x)+p\,i+q\,i^2+r\,i^3+\cdots,$$

em que $p, q, r, \ldots$ são novas funções de $x$. Lagrange definiu a primeira delas, o coeficiente de $i$, como a função derivada de $f$, e a escreveu com um apóstrofo: $f'(x)$. A derivada de $f'$ é $f''$, e assim por diante.

Veja como isso funciona para $f(x)=x^3$. Desenvolvendo o cubo,

$$(x+i)^3=x^3+3x^2\,i+3x\,i^2+i^3.$$

O coeficiente de $i$ é $3x^2$, então $f'(x)=3x^2$. Não foi preciso dividir por nada que depois some, nem desprezar nada: bastou ler um coeficiente. Era isso que Lagrange queria.

Onde o plano falhou

O plano tinha uma falha, que Cauchy apontou em 1823: nem toda função é igual à sua série de potências. A função

$$f(x)=e^{-1/x^2}\ \ (x\neq0),\qquad f(0)=0,$$

é tão achatada perto de zero que todas as suas derivadas valem zero ali. A série de potências dela em torno de zero é $0+0\,i+0\,i^2+\cdots=0$, mas a função não é zero. Partir da série, como Lagrange fazia, não basta. Cauchy refundou o cálculo com a ideia de limite, e é a versão dele que se ensina hoje.

Mas, no caminho, Lagrange encontrou duas ferramentas que sobreviveram ao naufrágio do seu plano.

O teorema do valor médio

A primeira é o teorema do valor médio, que ele precisava para controlar as suas séries. Na forma de hoje: se $f$ é derivável no intervalo de $a$ até $b$, existe pelo menos um ponto $c$ entre os dois em que

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

O lado direito é a inclinação da reta que liga os pontos $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ do gráfico. O teorema diz que, em algum ponto do caminho, a reta tangente é paralela a essa reta.

Em linguagem de estrada: se você percorreu 120 km em 1 hora e meia, a sua velocidade média foi de 80 km/h. O teorema garante que, em algum instante, o velocímetro marcou exatamente 80. Você pode ter andado mais devagar e mais depressa, mas para passar de um para o outro, teve de passar pela média. É por isso que os radares de velocidade média, que medem o tempo entre dois pontos de uma estrada, podem multar alguém sem nunca terem visto o carro acima do limite.

O erro da aproximação

A segunda ferramenta é o resto de Lagrange. Ao trocar uma função pelos primeiros termos da sua série, comete-se um erro. Lagrange mostrou que esse erro tem a mesma forma do termo seguinte, só que com a derivada calculada num ponto desconhecido $c$ entre $x$ e $x+h$:

$$\begin{aligned}f(x+h)={}&f(x)+f'(x)\,h+\frac{f''(x)}{2}h^2+\cdots\\&+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n\\&+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}h^{n+1}}_{\text{resto}}.\end{aligned}$$

Não se sabe onde está $c$, mas muitas vezes se sabe o tamanho máximo da derivada, e isso basta para garantir quantas casas decimais da aproximação estão certas. O teorema do valor médio é o caso $n=0$ dessa fórmula.

Exercício: encontre o ponto c do teorema do valor médio para f(x) = x² entre 0 e 2

A inclinação da reta entre $(0,0)$ e $(2,4)$ é $\frac{4-0}{2-0}=2$. A derivada é $f'(x)=2x$, e $2c=2$ dá $c=1$. No ponto $(1,1)$, a tangente à parábola é paralela à reta que liga as pontas.

Exercício: quanto pode errar a aproximação e ≈ 1 + 1 + 1/2 + 1/6 ?

É a série de $e^x$ em torno de $0$, com $x=1$ e termos até $h^3$. O resto de Lagrange é $\frac{e^c}{4!}\cdot1^4$, com $c$ entre $0$ e $1$. Como $e^c

Fontes: Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques (1797), no tomo 9 das Œuvres de Lagrange · Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus (1981) · Earliest Uses of Symbols of Calculus, Jeff Miller.

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