Euler's Eyes
2026-10-21
Demonstrações dos valores de 30, 45 e 60 graus
Dois desenhos substituem a memorização
As razões trigonométricas de um ângulo agudo são:
$$\sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$$$\tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.$$
Elas podem ser calculadas exatamente para alguns ângulos usando Pitágoras. Consulte a aula de relações métricas desta trilha para a demonstração do teorema.
O triângulo de 45 graus
A diagonal de um quadrado de lado 1 divide-o em dois triângulos retângulos isósceles. Os ângulos agudos são iguais e somam $90°$; cada um mede $45°$.
Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal mede $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$. Logo:
$$\sin45°=\cos45°=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad\tan45°=1.$$O triângulo de 30 e 60 graus
Trace a altura de um triângulo equilátero de lado 2. Ela divide a base em duas partes de comprimento 1 e o ângulo do vértice em dois de $30°$.
A altura $h$ satisfaz $h^2+1^2=2^2$, então $h=\sqrt3$. Lendo os catetos opostos e adjacentes:
| Ângulo | Seno | Cosseno | Tangente |
|---|---|---|---|
| $30°$ | $1/2$ | $\sqrt3/2$ | $\sqrt3/3$ |
| $45°$ | $\sqrt2/2$ | $\sqrt2/2$ | $1$ |
| $60°$ | $\sqrt3/2$ | $1/2$ | $\sqrt3$ |
Em $30°$ e $60°$, os catetos trocam de papel. Isso explica por que o seno de um coincide com o cosseno do outro.
Valores exatos e aproximações
$\sqrt3/2$ é um valor exato. O decimal $0{,}866$ é uma aproximação. Conserve o radical durante a conta e arredonde apenas quando for necessário interpretar uma medida.
No dia a dia
- Esquadros. Os esquadros escolares têm os ângulos de $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$.
- Telhados. Telhados de $30^\circ$ e $45^\circ$ são comuns: com meia largura de 4 m, um telhado de $45^\circ$ sobe 4 m.
- Favos de mel. As abelhas fazem hexágonos, cujos triângulos internos são equiláteros, com ângulos de $60^\circ$.
Exercícios com resolução
1. Calcule $\sin30°+\cos60°+\tan45°$.
Conferir resolução 1
$1/2+1/2+1=2$.
2. Um triângulo equilátero tem lado 12 cm. Calcule sua altura.
Conferir resolução 2
A altura é $12\sin60°=6\sqrt3$ cm. Também pode ser obtida por $h^2+6^2=12^2$.
No livro interativo
Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:
Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.