Em teoria de números ou aritmética podemos utilizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão. Em teoria de conjuntos as operações são de união,intersecção, diferença. Algumas delas definidas no post anterior. Neste post, vamos falar de resultados para operações entre conjuntos.

Obra de Euclides.

Diferença entre conjuntos

Inicialmente vamos falar da diferença entre conjuntos. Para isto, segue definição:

Definição (Diferença entre conjuntos): Sejam A e B dois conjuntos, dezemos diferença entre os conjuntos $A$ e $B,$ denotado por $A \setminus B$ ou $A−B,$ é o conjunto formado pelos elementos que estão em $A$ e não estão em $B.$ Simbolicamente, escrevemos:

$$A - B = \\{x; \quad x \in A \wedge x \notin B\\}.$$
Obra de Euclides.

Se $A \subseteq B,$ o conjunto $B − A$ é dito também ser o complementar de A em B e denotado por $A^c_B$. Se $A$ está contido em um conjunto universo $U,$ o complementar de $A$ em $U$ é denotado simplesmente por

$$A^c = \\{x;\quad x \notin A \\}.$$

Propriedade de operações entre conjuntos

Teorema 1. Sejam A, B e C conjuntos. Então:

  • (a) Associatividades:
    • $A \cup(B \cup C) = (A \cup B)\cup C$
    • $A \cap(B \cap C) = (A \cap B)\cap C.$
  • (b) Comutatividades:
    • $A \cup B = B \cup A$
    • $A \cap B = B \cap A.$
  • (c) Distributividades:
    • $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).$
  • (d) Idempotências:
    • $A \cup A = A$
    • $A \cap A = A.$
  • (e) Diferença:
    • $A − B \subseteq A$
    • $(A − B) \cap B = \emptyset.$
  • (f) Diferença 1:
    • $A − B = \emptyset \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B$
    • $A − (A − B) = B \quad \Leftrightarrow \quad B \subseteq A .$

Se $A$ e $B$ são subconjuntos de um mesmo conjunto universo U, então:

  • (g) Leis de Morgan
    • $(A \cup B)^c= A^c \cap B^c$
    • $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c.$
  • (h) Complementar:
    • $(A^c)^c = A$
    • $A \cap A^c = \emptyset.$
  • (i) $A \subseteq B$ se, e somente se $B^c \subseteq A^c.$

Demonstração: Exercício

Potência ou partes de um conjunto

Em potência ou partes de conjuntos necessitamos do axioma a seguir:

Axioma da potência: Para cada conjunto, existe uma coleção de conjuntos que contém entre seus elementos, todos os subconjuntos do conjunto dado.

Obra de Euclides.

Desta forma, definimos como:

Definição 2 (Conjuntos das partes ou potência). Seja A um conjunto. O conjunto potência de $A$ ou conjunto das partes de $A,$ denotado por $\mathcal{P}(A),$ é o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de $A.$ Simbolicamente, temos $\mathcal{P}(A) = \\{B; B \subseteq A \\}.$

Exemplo conjunto das partes

Para $A = \\{a, b, c \\},$ temos

$$\mathcal{P}(A) = \\{\emptyset, \\{a\\}, \\{b\\}, \\{c\\}, \\{a, b \\}, \\{a, c \\}, \\{b, c \\}, A \\}.$$ Obra de Euclides.

Proposição para potência

Sejam A e B conjuntos. Então:

  • (a) $\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B).$
  • (b) $\mathcal{P}(A \cup B) \supseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B).$

Demonstração:

(a) Temos as seguintes equivalências:

Por definição temos que:

$$X \in \mathcal{P}(A \cap B) \quad \Longleftrightarrow \quad X \subseteq A \cap B$$

Pelo teorema 1:

$$X \subseteq A \cap B \quad \Longleftrightarrow \quad X \subseteq A \wedge X \subseteq B$$

Por definição temos que:

$$X \subseteq A \wedge X \subseteq B \quad \Longleftrightarrow \quad X \in \mathcal{P}(A) \wedge X \in \mathcal{P}(B)$$

Por definição de intersecção $\cap$ temos que:

$$X \in \mathcal{P}(A) \wedge X \in \mathcal{P}(B) \quad \Longleftrightarrow \quad X \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$$

o que demonstra o item (a).

A demonstração do item (b) fica como exercício.

$\square$

Note que a inclusão $\mathcal{P}(A ∪ B) \subseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$ não é verdadeira. O contraexemplo a seguir demonstra esse fato.

De fato, para $A = \\{1\\}$ e $B = \\{2\\},$ temos

$$\mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(\\{1, 2\\}) = \\{\emptyset, \\{1\\}, \\{2\\}, \\{1, 2\\}\\}$$

e

$$\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \\{\emptyset, \\{1\\}\\} \cup \\{\emptyset, \\{2\\}\\} = \\{\emptyset, \\{1\\}, \\{2\\}\\}.$$

Axioma da União

Para definirmos a união de um número finito de conjuntos, podemos usar o axioma da especificação. Para uma coleção qualquer de conjuntos, já não é possível utilizar esse axioma para construir um conjunto união e um conjunto intersecção.

Axioma da união: Para toda coleção de conjuntos existe um conjunto que contém todos os elementos que pertencem a algum conjunto da dada coleção.

Em outras palavras, este axioma garante que para toda coleção de conjuntos $\mathcal{C},$ existe um conjunto $U$ tal que, se $x \in A$ para algum $A$ em $\mathcal{C},$ então $x \in U.$ Assim podemos definir:

Obra de Euclides.

Definição (União de conjuntos) Seja $\mathcal{C}$ uma coleção de conjuntos. A união dos conjuntos em $\mathcal{C}$ ou a união dos elementos de $\mathcal{C}$, denotada por:

$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A$$

ou

$$\bigcup \mathcal{C}$$

consiste de todos os elementos que pertencem a pelo menos um conjunto da coleção. Ainda

$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A = \\{x \in A;\quad A \in \mathcal{C}\\}.$$
Obra de Euclides.

Note que nesta definição utilizamos o axioma da união e o axioma da especificação para garantir a existência de

$$ \bigcup_{A\in \mathcal{C} } A$$

A unicidade é garantida pelo axioma da extensão. Podemos também escrever

$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A = \\{x; \exists A \in \mathcal{C}~ \text{ tal que } x \in A \\}$$

Axioma da Intersecção

Para a intersecção de conjuntos de uma coleção temos:

Definição (Axioma da Intersecção). Seja $\mathcal{C}$ uma coleção de conjuntos, dizemos intersecção dos conjuntos em $\mathcal{C}$ ou a intersecção dos elementos de $\mathcal{C},$ denotada por $\bigcap_{A \in \mathcal{C} } A$ ou $\bigcap \mathcal{C}$, que são todos os elementos que pertencem a todos os conjuntos da coleção.

$$\bigcap_{A \in \mathcal{C} } A = \\{x; ~ x \in A \text{ para todo } A \in \mathcal{C} \\}. $$

Também podemos escrever

$$\bigcap \mathcal{C} = \\{x; (A \in \mathcal{C} \rightarrow x \in A) \\}.$$

Este é o resumo de operações com conjuntos. Aguardem os próximos posts.