Em 16 de outubro de 1843, o irlandês William Rowan Hamilton caminhava com a esposa ao longo do Royal Canal, em Dublin, quando resolveu, de repente, um problema que o atormentava havia quinze anos. Tirou um canivete do bolso e riscou a fórmula numa pedra da ponte de Brougham:

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$$

A inscrição se apagou há muito tempo, mas hoje há uma placa no lugar, e todos os anos matemáticos fazem uma caminhada até a ponte no dia 16 de outubro. Raramente uma notação teve um nascimento tão bem documentado.

Um número que aponta

O problema de Hamilton vinha de uma descoberta anterior. Em 1797, o agrimensor norueguês-dinamarquês Caspar Wessel tinha mostrado que os números complexos podem ser lidos como direções no plano. Multiplicar por $-1$ é dar meia-volta ($180^\circ$); multiplicar pela unidade imaginária, que Wessel chamava de $\varepsilon$ e hoje chamamos de $i$, é girar um quarto de volta ($90^\circ$). E o produto de duas direções tem como ângulo a soma dos ângulos:

$$i\cdot i=-1\quad\text{porque}\quad 90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$

É o mesmo milagre dos logaritmos de Napier, agora com ângulos: multiplicar vira somar. Hamilton queria fazer o mesmo no espaço de três dimensões. Tentou durante anos com números de três partes, $a+bi+cj$, e nunca conseguiu fechar as contas. A solução daquele dia na ponte foi aceitar quatro partes, $q=a+bi+cj+dk$, e aceitar também uma coisa que parecia absurda: que a ordem da multiplicação importa.

$$ij=k,\qquad ji=-k.$$

É a mesma surpresa da tabuada de Galois, agora com números. Hamilton chamou as suas criaturas de quatérnios, do latim quaternio, “grupo de quatro”.

Escalar, vetor, versor

Hamilton era bom de nomes. Num artigo de 1846, separou o quatérnio em duas partes e batizou cada uma:

A parte algebricamente real, nós a chamaremos de parte escalar, ou simplesmente o escalar do quatérnio. […] A parte algebricamente imaginária, construída geometricamente por uma reta que tem, em geral, um comprimento determinado e uma direção determinada no espaço, pode ser chamada de parte vetorial, ou simplesmente o vetor do quatérnio.

— William Rowan Hamilton, Philosophical Magazine (1846)

Escalar vem de scala, a escada ou a régua graduada: um número que se marca numa escala. Vetor vem de vehere, carregar: o vetor é “aquele que leva” um ponto até outro. Mais tarde, Hamilton chamou de versor (de vertere, girar) o quatérnio que apenas gira, sem esticar. As três palavras sobreviveram, mesmo depois que os quatérnios saíram de moda.

A guerra das notações

Hamilton e o seu discípulo escocês Peter Guthrie Tait queriam reescrever toda a física em quatérnios. James Clerk Maxwell, que nos anos 1860 estava unificando a eletricidade e o magnetismo, olhou com interesse, mas desconfiou: para descrever um campo elétrico, as três partes $bi+cj+dk$ bastavam, e a parte escalar só atrapalhava. No artigo de 1865 em que apresentou a teoria, Maxwell escreveu as equações do eletromagnetismo componente por componente: vinte equações com vinte incógnitas. No Tratado sobre eletricidade e magnetismo, de 1873, chegou a usar parte da notação dos quatérnios, mas sem adotá-la por inteiro.

Duas pessoas, sem combinar, resolveram o problema ao mesmo tempo. Nos Estados Unidos, o físico Josiah Willard Gibbs imprimiu por conta própria, entre 1881 e 1884, um folheto para os seus alunos, Elementos de análise vetorial. Na Inglaterra, o engenheiro de telégrafos Oliver Heaviside, que tinha aprendido sozinho tudo o que sabia, fez o mesmo nas páginas da revista The Electrician. Os dois jogaram fora a parte escalar dos quatérnios, ficaram só com o vetor e criaram dois produtos diferentes, cada um com o seu sinal:

$$\begin{aligned}\vec a\cdot\vec b&\quad\text{produto escalar: dá um número;}\\ \vec a\times\vec b&\quad\text{produto vetorial: dá um vetor.}\end{aligned}$$

Com essa notação, as vinte equações de Maxwell couberam em quatro:

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \nabla\times\vec E&=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\\ \nabla\cdot\vec B&=0, & \nabla\times\vec B&=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}. \end{aligned}$$

É talvez o exemplo mais espetacular de notação ativa da física. O conteúdo é o mesmo de Maxwell, mas agora a simetria entre o campo elétrico e o magnético está à vista: duas equações com $\nabla\cdot$ (à esquerda), duas com $\nabla\times$ (à direita). Foi olhando para essa simetria que os físicos do começo do século XX, Einstein entre eles, começaram a fazer as perguntas que levaram à relatividade.

Até o professor Willard Gibbs tem de ser contado entre os que retardam o progresso dos quatérnios, com o seu panfleto sobre análise vetorial, uma espécie de monstro hermafrodita, composto das notações de Hamilton e de Grassmann.

— Peter Guthrie Tait, prefácio à 3ª edição de An Elementary Treatise on Quaternions (1890)

Tait perdeu a guerra. Os físicos e os engenheiros adotaram os vetores de Gibbs e Heaviside porque eram mais fáceis de usar nos problemas que eles tinham. Os quatérnios ficaram quase esquecidos por um século, até voltarem por uma porta inesperada: hoje são usados para calcular rotações em satélites, robôs e jogos de computador, justamente porque guardam a regra de Wessel e Hamilton de que girar e depois girar é multiplicar.

Como se escreve um vetor?

A disputa deixou rastros nas maneiras de escrever um vetor. Os antigos textos deste site reuniram algumas delas:

Autor Ano Escrita
Jean-Robert Argand 1806 $\overline{AB}$
August Möbius 1827 $AB$
Hermann Grassmann 1844 $v_1e_1+v_2e_2+v_3e_3$
William Rowan Hamilton anos 1840 $\alpha=xi+yj+zk$
Josiah Willard Gibbs 1881 letras gregas e, depois, letras em negrito
começo do século XX, sobretudo na França a seta: $\vec a$, $\overrightarrow{AB}$

Cada escrita destaca uma coisa. A barra de Argand diz “segmento de $A$ até $B$”. A soma de Grassmann diz “combinação de três direções básicas”, e é a que melhor escala para quatro, cinco ou cem dimensões. O negrito $\mathbf v$ dos livros de física é limpo, mas não se escreve à mão. A seta, que se escreve à mão, é a única que desenha o próprio objeto: um vetor é uma flecha. É um ícone, no sentido que Peirce vai nos dar no capítulo 2.

Exercício: a ordem importa nos quatérnios

Usando $ij=k$ e $ji=-k$, calcule $(1+i)(1+j)$ e $(1+j)(1+i)$.

$$(1+i)(1+j)=1+j+i+ij=1+i+j+k,$$

$$(1+j)(1+i)=1+i+j+ji=1+i+j-k.$$

Os resultados diferem no sinal do $k$. E $ijk$? Agrupando, $(ij)k=k\cdot k=-1$, exatamente a fórmula da ponte.

Exercício: os dois produtos de Gibbs

Para $\vec a=(1,2,0)$ e $\vec b=(3,-1,0)$:

  • o produto escalar é um número: $\vec a\cdot\vec b=1\cdot3+2\cdot(-1)+0\cdot0=1$;
  • o produto vetorial é um vetor: $\vec a\times\vec b=(2\cdot0-0\cdot(-1),\ 0\cdot3-1\cdot0,\ 1\cdot(-1)-2\cdot3)=(0,0,-7)$.

O primeiro mede quanto os vetores apontam “para o mesmo lado”; o segundo aponta para fora do plano dos dois, como a força na regra da mão direita. Dois sinais diferentes para duas operações diferentes: foi isso que Gibbs ganhou ao separar o que o quatérnio misturava.

Fontes: Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (1967) · Florian Cajori, A History of Mathematical Notations · William Rowan Hamilton, MacTutor · Oliver Heaviside, MacTutor.

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