Na tese de doutorado, em 1799, Gauss provou que todo polinômio de grau $n$ tem $n$ raízes, desde que se aceitem os números complexos. Por exemplo, $x^2 + 1 = 0$ não tem solução real, mas tem duas complexas:

$$x^2 + 1 = (x - i)(x + i).$$

Gauss também popularizou o jeito de desenhar os números complexos como pontos de um plano, o plano complexo: $a + bi$ é o ponto $(a, b)$. O norueguês Caspar Wessel (1797) e o suíço Jean-Robert Argand (1806) tiveram a mesma ideia, mas quase ninguém leu seus trabalhos; foi a fama de Gauss, a partir de 1831, que espalhou o desenho. Por isso ele também se chama plano de Argand-Gauss. E aí aparece uma ligação bonita com o polígono de 17 lados. As três raízes de $x^3 = 1$ são

$$1, \qquad -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i, \qquad -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i,$$

e, no plano, elas são os vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo de raio 1. Do mesmo jeito, as 17 raízes de $x^{17} = 1$ são os vértices do polígono de 17 lados. Foi estudando essa equação que Gauss chegou à construção.

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